Holger Wendelken - Erweiterte Reflexionslogik

Eine Einführung in die Wissenschaft des Paradoxen

von Holger Wendelken

Vorwort (zu dieser Ausgabe)

Teil I: Die Reflexionslogik

Einführung (zum Thema)

Die Identität

Antinomien und Unvollständigkeit

Der Dominante Operator

Das Paradoxon der Unendlichkeit

Der Apparat der Reflexionslogik

Bewusstsein und physikalische Realität

Grenzen der Reflexionslogik

Teil II: Kritik der Reflexionslogik

Über Beschränkung und Unmoral selektiver Logiksysteme

Dominanz und Evolution

Psychologie und freier Wille

Formen der Herrschaft

Der psychische Homunculus

Das Wahre Äußere

Anhang

Die Reflexionslogik in Kürze

Literaturhinweise

Diese Veröffentlichung soll als zweite, leicht erweiterte Auflage von »Reflexionslogik – Die Wissenschaft des Paradoxen und ihre Lösungen« aufgefasst werden. Die Erweiterungen, die allesamt im Kielwasser der Veröffentlichung der ersten Ausgabe entstanden sind (leider etwas zu spät!), betreffen eine etwas gründlichere Betrachtung der Begriffe Sein und Neutralität , die nun gewissermaßen in einem philosophischen Prolog behandelt werden. Daraus folgen einige Veränderungen in der Handhabung des Begriffes Identität , welcher in dieser Ausgabe nicht mehr axiomatisiert, sondern definiert wird. Die Behandlung des Begriffes Reflexion ist exakt die gleiche wie in der ersten Ausgabe – bis auf eine explizite Begründung der Entscheidbarkeit Abstrakter Reflexionen mit der Dominanz des Seins über die Neutralität, die in der ersten Ausgabe im Prinzip jedoch schon mit der (äquivalenten) Begründung der entscheidbaren Definition einer S-Reflexion als Dominanter Operator gegeben ist.

Außerdem ist diese Ausgabe um einen Aufsatz über eine kritische Betrachtung selektiver Logiksysteme, zu denen die Reflexionslogik wegen des Dominanzprinzips zählt, erweitert. Darin wird neben der Perspektive des menschlichen Bewusstseins als Reflexion und daraus resultierendes menschliches Handeln sowohl in psychologischer wie auch sozial-politischer Konsequenz auch die aus der Vollständigkeit und Abgeschlossenheit resultierende Beschränktheit der Reflexionslogik untersucht, die zu einigen Präzisierungen im Kapitel »Grenzen der Reflexionslogik« geführt hat.

Vorwort der Erstausgabe

Dieses Buch soll zunächst als eine populärwissenschaftliche Abhandlung über spezielle Themen der Metamathematik und Philosophie angesehen werden. Außer dem Interesse an den Themen Antinomien, Unvollständigkeit und Unendlichkeit – diese Begriffe werden im Rahmen der Reflexionslogik ausführlich erklärt – sind keine speziellen Fachkenntnisse erforderlich, um den Gedankengängen folgen zu können. Es richtet sich also grundsätzlich an interessierte Laien – aber natürlich auch an interessierte Akademiker.

In einigen Fällen beziehe ich mich auf Äußerungen oder Werke anderer Mathematiker, beispielsweise Bertrand Russel und Kurt Gödel. Diese beiden seien ausdrücklich genannt, weil sie bedeutende Werke zu jenen metamathematischen Themen verfasst haben, mit denen ich mich in dieser Abhandlung beschäftige. Es ist sicher gewinnbringend, sich mit Werken dieser oder anderer Mathematiker und Philosophen zu dem Thema zu beschäftigen, doch zum Verständnis der Reflexionslogik notwendig ist es nicht: Alles reflexionslogisch relevante zum Thema Russel-Antinomie oder Gödelsche Unvollständigkeit wird in diesem Buch behandelt.

1. Das von uns wahrgenommene Universum ist ein Paradoxon.

2. Jeder Mensch – oder genauer: jedes bewusstseinsfähige Wesen – ist in der Lage, Paradoxa zu erkennen und entscheidbar aufzulösen.

Diese zwei Behauptungen müssen natürlich erst einmal bewiesen werden. Und das ist leider keine triviale Angelegenheit. Die Standardlogik bietet keine Werkzeuge, um ein solches Vorhaben auszuführen. Wollen wir uns also mit Ungeheuern wie Antinomien und der Unendlichkeit anlegen, ist es unverzichtbar, eine erweiterte Logik zu konstruieren, die uns mit den notwendigen Werkzeugen versorgt, um Einblick in Aufbau und Wirkungsweise dieser Objekte zu erhalten.

Eine Warnung sei vorweg ausgesprochen: Die Thematik ist nicht wenig verwirrend. Um zu verstehen, wie eine Antinomie (diesen Begriff gebrauche ich übrigens synonym zum Begriff des Paradoxons) aufgelöst wird, muss man verstehen, was eine Antinomie ist, was durchaus verstörend sein kann. Doch wenn Sie sich, vielleicht mit ein wenig Mut und Abenteuerlust, dazu entscheiden, dieses Buch weiterzulesen, dann werden Sie es sicher – weitgehend – unbeschadet überstehen. Und wenn Sie die Reflexionslogik verstanden haben, dann wird Ihnen kein Paradoxon jemals wieder schlaflose Nächte bereiten.

Wie auf jeder Abenteuerreise werden Ihnen viele triviale Dinge begegnen, wie zum Beispiel einige Sätze über den Begriff der Identität; diese sind schon in der Antike genauso gebraucht worden, und sie werden Ihnen ganz intuitiv klar sein. Doch das soll nicht dazu verführen, dass Sie Ihre Aufmerksamkeit verringern, denn ganz plötzlich werden Sie mit Objekten konfrontiert werden, die Ihre volle Aufmerksamkeit erfordern werden, etwa der Definition einer S-Identität, die ganz und gar nicht trivial ist, denn sie ist nichts Geringeres als ein Paradoxon, eines der Ungeheuer also, die es zu bezwingen gilt.

Die Reflexionslogik ist vor allem aus der Notwendigkeit der Beantwortung zweier Fragen her motiviert:

1. Gibt es ein logisches Modell, welches die Wirkungsweise des Bewusstseins zu beschreiben vermag?

2. Gibt es ein hinreichend mächtiges , logisches System, das sowohl vollständig als auch vollständig entscheidbar ist?

Die Antwort auf beide Fragen lautet: Ja, die Reflexionslogik.

Die Mathematik ist eine Wissenschaft des Entscheidens . Unentscheidbare Sätze, wie beispielsweise »Es existiert eine Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.«, stören den Anspruch, alle Aussagen in der Mathematik entweder beweisen oder widerlegen zu können. Ziel der Reflexionslogik ist es, auftretende Antinomien lokal zu begrenzen und präzise vorauszusagen, an welchen Stellen Antinomien auftreten können.

Antinomien werden nicht vollständig verschwinden, was in dem Satz über die Unvollständigkeit von Reflexionsabbildern kumuliert. Dennoch lässt sich ein (entscheidbarer) Satz über Vollständigkeit und (globale) Entscheidbarkeit der Reflexionslogik formulieren. Mehr noch: Die Reflexionslogik verdeutlicht, dass Antinomien ein vitaler Bestandteil der modernen Mathematik sind, denn über sie lassen sich genau jene Räume konstruieren , mit denen sich die Standardmathematik beschreibend beschäftigt.

Die Mathematik ist auch eine Wissenschaft des Unterscheidens . Zentraler Begriff der Reflexionslogik hingegen ist die Identität . Wenn die Reflexionslogik in der Mathematik Gültigkeit besitzen soll, muss der Begriff der Identität rigoros angewendet werden können, das heißt: Es muss in einer logischen Operation der Bestimmung der Identität eines Objektes präzise entscheidbar sein, ob ein Objekt identisch mit einem anderen Objekt ist oder nicht – oder möglicherweise beides, was in der Standardlogik ein Paradoxon ergäbe, nicht jedoch in der Reflexionslogik.

Die Reflexion ist der Operator der Identität , welches in der Definition des Begriffes der Reflexion erklärt wird. Dadurch wird die Identität als aktive logische Operation herausgestellt, was der Bedeutung des Begriffes entspricht und sie aus dem Schattendasein der Nicht-Beachtung oder des nebenbedeutenden Implizierens befreit.