Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Сколь многие из еще неразрешенных задач, остающихся в наших книгах по математике, окажутся недоказуемыми? Чтобы справиться с некоторыми из этих великих нерешенных задач, нам могут понадобиться новые аксиомы, которые позволят им стать доказуемыми. Гёдель считал, что именно в этом может крыться причина трудности доказательства гипотезы Римана, величайшей из нерешенных задач математики. Он сомневался в достаточности имеющихся у нас аксиом для преодоления многих из проблем теории чисел:

Мы сталкиваемся с бесконечной последовательностью аксиом, которая может быть продолжена все дальше и дальше, и никакого конца ей не видно […] Правда, в нынешней математике высшие уровни этой иерархии практически никогда не используются […] вполне возможно, что это свойство современной математики как-то связано с ее неспособностью доказать некоторые фундаментальные теоремы, например такие как гипотеза Римана [129].

Теорема Гёделя о неполноте – это увлекательнейший микрокосм задачи доказательства истины. В отсутствие непротиворечивой аксиоматической системы в теории чисел неизбежно будут существовать истинные утверждения, истинность которых не может быть доказана. Интересно отметить, что, если работать вне системы, можно даже доказать, что некоторое утверждение истинно, но недоказуемо внутри этой системы. Можно сказать: почему бы тогда не перейти в бо́льшую систему? Но Гёдель гарантирует, что и в такой большей системе будут свои недоказуемые истинные утверждения, требующие выхода за пределы уже этой системы. Получается очень знакомая бесконечная регрессия.

Эта ситуация созвучна со многими из тех проблем, с которыми мы разбирались раньше. Может быть, понять Вселенную невозможно, пока мы остаемся внутри ее системы. Если Вселенная описывается квантовой волновой функцией, необходимо ли находиться вне системы, чтобы наблюдать ее? Из теории хаоса следует, что мы не можем понять часть системы как отдельную проблему, потому что электрон, находящийся на другом конце Вселенной, может оказать на хаотическую систему влияние, которое отправит ее в совершенно другом направлении. Чтобы рассмотреть всю систему, необходимо находиться вне ее. Та же проблема касается вопроса о понимании сознания. Мы заперты внутри собственной головы, своей собственной системы, и не имеем доступа к сознанию других. То же, по мнению некоторых, ограничивает и наши возможности постижения такой вещи, как существование Бога, трансцендентного относительно мира, в пределах которого мы заключены.

Другой важный аспект работы Гёделя состоит в том, что в пределах аксиоматической системы теории чисел невозможно доказать, что эта теория согласованна, что она не содержит противоречий. Это же может относиться и к вопросу о действенности методов, которые мы используем для получения знаний о Вселенной. Например, любая попытка объяснить, почему индукция – это правильный метод изучения физических явлений, будет основана на применении индукции. Получается настоящий замкнутый круг.

Однако не все следствия такой ограниченности возможностей математического метода столь мрачны и пессимистичны. Можно сказать, что она привела к открытию того удивительного факта, что существуют такие утверждения о свойствах чисел, которые можно либо считать истинными, либо считать ложными, причем оба эти предположения вытекают из закономерных моделей математики; то есть что существует множество разных видов математики. Можно ли сделать то же самое, когда мы встречаем действительно непознаваемый вопрос об устройстве Вселенной? Если мы найдем вопрос, ответ на который действительно невозможно узнать, было бы вполне логично исходить из гипотезы о том, что этот ответ может быть таким или другим. Выбор рабочей гипотезы отчасти зависит от вероятности одного или другого ответа. Но в некоторых случаях вероятности могут быть несущественны, и наш выбор попадает в зависимость от личных отношений с последствиями работы в рамках данной системы.

Математики свободны от такой необходимости выбора. Я как математик легко могу переходить от одной математической модели к другой, если каждая из этих моделей сама по себе внутренне непротиворечива, хотя они и противоречат друг другу. Например, я могу работать в предположении истинности или ложности гипотезы континуума. Если исходная модель непротиворечива, то непротиворечивы и обе математические модели. Если это необходимо для моей математики, я могу использовать гипотезу континуума для исследования этой конкретной математической вселенной. Можно ли поступить так же в отношении других случаев непознаваемого? Если Бог – это то, что не может быть познано, можно ли сделать выбор, который облечет это неизвестное плотью? Но не сделаем ли мы его таким образом познаваемым и не будет ли это противоречить исходному определению?