Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Выбор гипотезы, из которой мы исходим, следует производить с осторожностью. Нельзя просто предположить, что нечто неизвестное может быть истинно или ложно. Необходимо доказать, что обе такие возможности непротиворечивы. Например, я не знаю, истинна или ложна гипотеза Римана о простых числах, но лишь один из этих вариантов может быть совместим с нашей теорией чисел. Если окажется, что эта гипотеза недоказуема в рамках имеющихся у нас аксиом теории чисел, на самом деле это будет означать, что она истинна. Если она ложна, мы знаем, что ее ложность доказуема, потому что путем конечного систематического поиска мы сможем найти опровергающие ее примеры. Если она ложна, мы не можем работать в модели, предполагающей ее истинность, так как это приведет к противоречиям. Этим и замечательна гипотеза континуума: как она сама, так и противоположное ей утверждение можно включить в согласованную теорию, не порождая никаких противоречий.

Кое-кто утверждал, что те числа, которые мы пытаемся определить аксиоматически, предназначены для измерений, что это те числа, которые могут быть расположены на линейке. Поэтому предположение о том, что гипотеза континуума должна давать лучшее описание того, что мы пытаемся моделировать, может быть вполне обоснованно. Логик Хью Вудин даже выдвинул недавно доводы, объясняющие, почему гипотеза континуума должна быть ложной для тех чисел, которые мы пытаемся моделировать. Он утверждает, что если эти числа представляют измерения, нанесенные на линейку, то есть основания полагать, что из этого следует существование бесконечных подмножеств промежуточного размера между множеством целых чисел и множеством бесконечных десятичных представлений.

Этот пример иллюстрирует напряженность, существующую в отношениях математики и физики. Математика уже несколько столетий прекрасно уживается с существованием множественных математических вселенных – разных, взаимно исключающих математических моделей геометрии или теории чисел. Но физику, даже если он ничего не имеет против идеи множественных вселенных, все же хотелось бы выяснить, какой из этих возможных вариантов описывает ту Вселенную, частью которой мы являемся.

Представим себе, что ученый-естественник, разработав абсолютно непротиворечивую логическую теорию возможного устройства Вселенной, обнаруживает затем, что она не соответствует экспериментальным результатам, полученным в нашей Вселенной. Такую гипотетическую теорию отбрасывают, и после этого она не представляет никакого интереса для научного мира. Если биолог примется писать статью о гипотетическом животном, которое потенциально могло бы существовать, но на самом деле на Земле не встречается, например о единороге, такая статья никому не будет интересна, если только из нее нельзя будет узнать что-нибудь о животных, которые существуют в реальности. Напротив, в математике такие гипотетические миры превозносятся и приветствуются. Они становятся частью все более богатого ассортимента математических возможностей. Естествознание занимается реальным, математика – возможным. Если естественные науки прокладывают единственный маршрут по дереву возможных вселенных, то математика составляет карту, на которую нанесены все возможные пути.

Но что же делать с неразрешимыми вопросами естествознания? В случае гипотезы континуума не имеет смысла выбирать один или другой ответ на основе вероятностных соображений. Не то чтобы один из них был «истинным», а другой нет. Но можно ли сказать то же самое о непознаваемом в физике, в которой «истина» существует?

Интересно отметить, что в случае физики, когда мы встречаем вопрос, недоступный для познания, один из ответов на него соответствует правильному описанию нашей Вселенной, а другой ему не соответствует. Но по самой природе неразрешимого вопроса мы не можем получить никакой новой информации о Вселенной, которая позволила бы нам решить, какое из ее описаний истинно, а какое ложно. Если мы получаем такую информацию, значит, вопрос с самого начала не был неразрешимым. Так что же случится, если мы станем работать, исходя из ложной гипотезы? А ничего! Как и в случае гипотезы континуума, неверный ответ все равно будет согласовываться с имеющейся у нас теорией устройства Вселенной. У вас будет другая история с другими теоремами и результатами. Если при этом возникают противоречия, это позволяет нам установить, что эта концепция ошибочна, а следовательно, данный вопрос не был подлинно неразрешимым.