Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Он начинается с построения таблицы, содержащей все дроби. В этой таблице бесконечно много столбцов и строк. n -й столбец содержит все дроби 1/ n , 2/ n , 3/ n , ….

Как же Кантору удалось составить пары из целых чисел и дробей этой таблицы? Для этого прежде всего нужно запустить в таблицу змею, проползающую дроби по диагонали, как показано на иллюстрации. Тогда целые числа можно поставить в пары с дробными, продвигаясь по пути такой змеи: 1 попадает в пару с 1/1, 2 – с 2/1, 3 – с 1/2, 4 – с 1/3. Например, число 9 образует пару с 2/3, девятой по счету дробью, которую мы встречаем на извивающемся пути змеи, пробирающейся сквозь таблицу дробей. Поскольку змея таким образом проползает через всю таблицу, каждой из дробей будет поставлено в соответствие некоторое целое число.

Это рассуждение красиво и неожиданно. Если бы я оказался на необитаемом острове и мог взять с собой всего восемь теорем, канторова змея была бы одной из них. Какое замечательное достижение – найти способ установления соответствия между всеми дробями и целыми числами и показать, что их множества имеют одни и те же порядки величины!

Начинает казаться, что все бесконечности имеют равные размеры. Может быть, если число членов племени достигло бесконечности, никакое другое племя никогда не сможет его превзойти? Но тут появляется еще одно крутое племя, члены которого помечены всеми возможными десятичными представлениями положительных вещественных чисел. Сможет ли племя, члены которого помечены целыми числами 1, 2, 3, …, составить пары с членами этого нового племени? Для начала можно установить соответствие между членом племени с числом 1 и членом племени с числом π = 3,1415926…, затем между членом племени с числом 2 и членом племени с числом е = 2,71828…. Но как перебрать всех членов этого бесконечного десятичного племени? Есть ли какой-нибудь хитрый способ расположения бесконечных десятичных чисел, позволяющий целым числам проползти их все подобно тому, как Кантор сделал с дробями?

Кантор сумел придумать рассуждение, показывающее, почему, как бы мы ни пытались найти соответствие с племенем целых чисел, он всегда может гарантировать, что все члены племени бесконечных десятичных дробей никогда не будут пересчитаны. Бесконечность всех бесконечных десятичных представлений чисел – это бесконечность действительно более крупного вида, чем бесконечность целых чисел. Это рассуждение так же просто и красиво, и я думаю, что оно тоже вошло бы в число математических теорем, которые я взял бы с собой на необитаемый остров.

Как мог Кантор быть уверен, что он всегда сможет гарантировать существование члена племени бесконечных десятичных представлений, которому не найдется пары? Возьмем одну из моих попыток найти соответствия между племенем целых чисел и племенем бесконечных десятичных дробей.

13,1415926…

22,7182818…

31,4142135…

41,6180339…

50,3331779…

…

Кантор создает такое число в бесконечном десятичном представлении, которое заведомо не содержится в моем списке и не имеет пары среди целых чисел. В каждом десятичном разряде стоит цифра от 0 до 9. В качестве первого разряда Кантор берет цифру, отличающуюся от первого разряда числа, поставленного в пару числу 1. В качестве второго разряда – цифру, отличную от второго разряда числа, соответствующего числу 2.

13, 1415926…

22,7 182818…

31,41 42135…

41,618 0339…

50,3331 779…

…

Например, бесконечное десятичное число 0,22518… не соответствует ни одному из первых пяти целых чисел, так как эта бесконечная десятичная дробь отличается от первых пяти бесконечных десятичных дробей в моем списке. Так Кантор может найти члена племени бесконечных десятичных чисел, которому не соответствует никакое целое число. Если я скажу, что ему соответствует, скажем, число 101, Кантор попросту ответит: «Проверьте 101-й разряд: он отличается от 101-го разряда этого нового числа».

В этом рассуждении есть некоторые технические тонкости. Например, следует избегать образования числа 0,9999…, поскольку, как мы помним по шутке про математиков и лампочку, оно на самом деле равно числу 1,000…. Но и краткого изложения доказательства достаточно, чтобы показать, что чисел с бесконечным десятичным представлением существует больше, чем целых чисел.