Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Что же касается другого их мнения, согласно которому бесконечное не может быть объято даже божественным ведением, то им остается дерзнуть утверждать, что Бог не знает всех чисел, и погрузиться, таким образом, и в эту бездну глубокого нечестия. […] Кто даже из самых безрассудных людей скажет это? […] Кто такие мы, людишки, дерзающие положить предел Его ведению? [120]

Средневековый философ Орем, который обдумывал идею о том, что за небесным сводом, окружающим нашу Вселенную, может существовать бесконечное пространство, также умело обращался и с математическими бесконечностями. Именно он первым доказал тот удивительный факт, что если складывать дроби 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, то можно получить сколь угодно большой результат. Ему также одному из первых пришла в голову идея о возможности сравнения размеров разных бесконечностей. В самом деле, если сравнить бесконечность всех чисел [121]и бесконечность четных чисел, то каждому целому числу можно сопоставить его удвоенное значение. Однако, поскольку множество четных чисел, очевидно, является меньшим подмножеством множества всех чисел, Орем заключил, что сравнение бесконечностей – дело небезопасное.

Несколько веков многие считали, что рассуждения такого рода доказывают невозможность реального существования бесконечности. Английский священник и математик XIV в. Томас Брадвардин использовал похожую идею, чтобы доказать, что мир не вечен. Он рассуждал так: если мир вечен, то число женских душ и число всех душ должны быть бесконечными. Если они бесконечны, их можно соотнести друг с другом. Но тогда не останется места для мужских душ. Таким образом, предположение о бесконечности числа душ приводит к противоречию.

И несколько столетий спустя бесконечность все еще чрезвычайно сильно беспокоит математиков. Галилей столкнулся с затруднениями, похожими на проблемы Орема и Брадвардина, когда рассматривал число квадратов целых чисел. С одной стороны, чисел, которые не являются квадратами, явно больше, чем квадратов. Квадраты – 1, 4, 9, 16, 25, … – встречаются чем дальше, тем реже, и между каждыми следующими двумя квадратами располагается все большее количество неквадратов. Но, с другой стороны, разве каждое число не является квадратным корнем из некоего числа-квадрата? С этой точки зрения можно сказать, что каждому числу можно сопоставить (его) квадрат, откуда следует, что количество квадратов должно быть равно количеству всех чисел.

Галилея, как ранее Орема, это привело в замешательство. Как он писал в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки»,

[…] рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей [122].

Общеизвестный сейчас символ, представляющий бесконечность, появился вскоре после смерти Галилея. Символ ∞ впервые использовал в 1655 г. английский математик Джон Валлис. Он выбрал именно такую форму, чтобы выразить идею возможности бесконечного прохождения по кривой [123]. В течение следующих двух веков математики вполне свыклись с идеей потенциальной бесконечности, но не с идеей бесконечности, действительно существующей, которая, казалось, порождала слишком много трудностей. Математик XIX в. Карл-Фридрих Гаусс писал своему коллеге Генриху-Христиану Шумахеру:

Прежде всего я возражаю против использования бесконечной величины как чего-то законченного, что ни в коем случае недопустимо в математике. Бесконечность – не более чем façon de parler [124].

А затем, в конце XIX в., произошел интеллектуальный сдвиг. Благодаря работе конечного разума одного человека бесконечность вдруг оказалась достижимой. Для Георга Кантора бесконечность не была всего лишь манерой выражаться. Она была осязаемым математическим объектом:

Horror infiniti [125][…] можно рассматривать как своего рода близорукость, которая лишает возможности видеть актуальное бесконечное, хотя последнее в своем высшем, абсолютном носителе создало и сохраняет нас, а в своих вторичных трансфинитных формах окружает нас со всех сторон и даже присуще самому нашему духу [126].

В конце XIX в. можно было бы ожидать разделения между учеными и религиозными деятелями. Однако Георг Кантор был и тем и другим и писал о том, как религия влияет на его математические идеи. Подобно Джордано Бруно, размышлявшему о бесконечной Вселенной, вера в Бога была для Кантора гипотезой, из которой он выводил необходимость существования бесконечности.