Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.

Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру – 8. Дальше у нас идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6. 6 + 6 = 12 – значит, «на ум идет» уже третья единица, – считаем 12 – 9 = 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973 с остатком 8.

Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков, никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:

Если говорить конкретнее, ответ тут – , где линия над цифрами 582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1, считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую половину нашего ответа, а именно – 0,582. Вторая половина – это разность, полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем .