Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Например, если цифры числа 123 456 789 в сумме дают 45 (которое кратно 9), оно также кратно 9. А 314 156, сумма цифр которого равна 23 (которое на 9 не делится), таковым, наоборот, не является.

Чтобы понять, как это правило связано с фокусом, которым мы начали эту главу, и в чем, собственно говоря, его суть, обратимся к алгебре. Вы начали с определенного числа – назовем его N . После его утроения мы получим 3 N , которые после следующего шага превращаются в 3 N + 6. Повторное утроение дает нам 3(3 N + 6) = 9 N + 18, что равно 9( N + 2). Если вы это удвоили, у вас будет 18 N + 36 = 9(2 N + 4), если нет – в результате фигурирует произведение целого числа на 9, и вы в любом случае закончите числом, кратным 9. Сложив между собой его цифры, вы снова получите кратное 9 число (скорее всего, 9, 18, 27 или 36), сумма цифр которого должна опять же быть равна 9.

А вот другая разновидность того же фокуса – не менее мной любимая. Попросите кого-нибудь вооружиться калькулятором и загадать одно из следующих четырехзначных чисел:

Числа эти взяты не просто так: 3141 – первые четыре цифры числа π (см. главу 8), 2718 – первые четыре цифры числа e (см. главу 10), 2358 – цифры, соответствующие числам из последовательности Фибоначчи (см. главу 5), 9999 – самое большое из четырехзначных чисел. Затем нужно умножить выбранное вами число на любое трехзначное. Результат получится шести– или семизначным – и это все, что вы можете о нем знать. А теперь мысленно обведем кружком любую цифру ответа – любую, кроме ноля (он и без того похож на кружок!). Попросите своего зрителя назвать вам остальные цифры в любом порядке и сконцентрироваться на неназванной, обведенной кружком. Пора оглашать ответ – но для этого нужно приложить немного усилий.

В чем тут секрет? Начнем с того, что каждое из изначальных четырех чисел кратно 9. А раз вы начинаете с числа, кратного 9, и умножаете его на целое число, ответ тоже будет кратен 9. А еще сумма его цифр должна быть кратна 9. Поэтому надо просто сложить между собой числа, которые вам называют. Неназванная цифра – это число, которое необходимо прибавить к результату, чтобы он стал кратным 9. Например, зритель называет вам цифры 5, 0, 2, 2, 6 и 1. Их сумма равна 16 – до ближайшего числа, кратного 9 – а именно, 18 – не хватает 2. Если вы слышите цифры 1, 1, 2, 3, 5, 8, дающие в сумме 20, то зритель не назвал вам 7 – остаток, который необходимо добавить к 20, чтобы получить 27. А что, если сумма названных вам цифр уже равна 18 – что тогда нужно угадать? Правильно, 9: вы же просили не обводить кружком 0.

Почему же цифры, составляющие числа, кратные 9, в сумме всегда дают числа, тоже кратные 9? Посмотрите на такой пример: число 3456, разложенное на элементы с помощью умножения на 10, выглядит как

Следуя той же логике, любое число, сумма цифр которого кратна 9, само должно быть кратно 9 (и наоборот: любое число, кратное 9, при сложении составляющих его цифр даст нам результат, кратный 9).

А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается:

Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9 , ведь на каждом этапе вы занимаетесь тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное число называется цифровым корнем изначального числа. Например, числовой корень 3457 – 1, а 3456 – 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n :

Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r , получаем: