Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

где x – целое число. Вычисление вычета по 9 – забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте посчитаем

Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5 и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно, что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень, равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической формуле:

Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что важно: даже если числа совпадают , это еще не значит, что ответ верный, хотя в 90 % случаев проверка результата цифровыми корнями работает безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке, если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.

А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.

1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.

2. Сложите между собой его цифры.

3. Вычтите результат из задуманного числа.

4. Сложите между собой цифры полученной разности.

5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.

6. Если нечетное – на 10.

7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T , само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T , мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL , о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9 x + 5 и 9 y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем