Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Мой любимый математический фокус – определять день недели, в который родился человек, по году и дате. Допустим, ваша знакомая говорит вам, что родилась 2 мая 2002 года. Представьте себе ее удивление, когда вы почти мгновенно сообщите ей, что это был четверг. Куда более полезно с практической точки зрения умение определять день недели по любой предстоящей в этом или следующем году дате. В этом разделе я расскажу вам, как легко это делать с помощью математики.

Но перед тем как заняться непосредственно самим методом, давайте вспомним пару интересных фактов из истории календаря. Итак, Земле требуется примерно 365,25 дней, чтобы пройти путь вокруг Солнца. Поэтому обычный год у нас длится 365 дней, а четверти мы собираем вместе и раз в четыре года добавляем один «лишний» (его еще называют високосным) день – 29 февраля. Таким образом, за четырехлетний цикл у нас получается 4 × 365 + 1 = 1461 день, что очень близко к реальному, астрономическому, положению вещей. Именно эта идея и легла в основу юлианского календаря, составленного Юлием Цезарем более 2000 лет назад. Например, 2000 год – високосный. И каждый четвертый после него – тоже: 2004, 2008, 2012, 2016 и т. д., вплоть до последнего в этом столетии 2096. «А как же 2100? – спросите вы. – Он разве не будет високосным?» А вот и нет. Знаете почему?

Проблема в том, что более точная длительность астрономического года – 365,243 (что примерно на 11 минут меньше 365,25), поэтому високосных годов получается чересчур много. За четыре сотни оборотов вокруг Солнца человечество проживает 146 097 дней, а юлианский календарь насчитывает 400 × 365,25 = 146 100 дней (что на три дня больше). Эту проблему (как и проблемы, связанные с определением дня Пасхи) попытался решить в 1582 году папа римский Григорий XIII, представив свой вариант календаря, впоследствии названный григорианским. И именно по этой самой причине в этом самом году католики всего мира убрали из своего летоисчисления десять дней. Например, в Испании после юлианского четверга 4 октября 1582 года последовала григорианская пятница, ставшая 15 октября 1582 года. После введения григорианского календаря годы, числовые значения которых можно разделить без остатка на 100, но при этом нельзя разделить без остатка на 400, перестали быть високосными (что позволило убрать лишние три дня). Следовательно, 1600 год в григорианском календаре оставался високосным, а вот 1700-й, 1800-й и 1900-й этот статус потеряли. Точно так же 2000-й и 2400-й – високосные, а 2100-й, 2200-й и 2300-й – нет. Согласно этой системе, каждые четыре сотни лет мы имеем 100 – 3 = 97 високосных годов или (400 × 365) + 97 = 146 097 дней, что точно соответствует астрономической истине.

Некоторые страны – в основном, некатолические – далеко не сразу приняли григорианский календарь. Англия вместе со своими колониями, например, перешла на него только в 1752 году, когда за средой 2 сентября сразу же последовал четверг 14 сентября (обратите внимание, что они «потеряли» 11 дней, а не десять, потому что пропустили 1700 год, который в юлианском календаре был високосным, а в григорианском – обычным). Всемирное же распространение григорианский календарь получил только в 1920 году. Представьте, какой головной болью это стало для историков. Мой любимый исторический парадокс – смерти Уильяма Шекспира и Мигеля де Сервантеса, которые по справочникам случились в один день, 23 апреля 1616 года, а на деле – с разницей в десять дней. Все это как раз из-за того, что к моменту смерти Сервантеса Испания уже пользовалась григорианским календарем, а Англия – все еще юлианским. То есть григорианское 23 апреля 1616 года в Испании было юлианским 13 апреля 1616 года в Англии, где жил (и прожил еще десять дней) Шекспир.

Формула определения дня недели по любой дате григорианского календаря выглядит так:

Давайте разберемся, что здесь к чему. Все это имеет смысл, если формула использует модульную арифметику по модулю 7 (поскольку в неделе 7 дней). Например, если нас интересует дата через 72 дня, день недели будет на два впереди от сегодняшнего, потому что 72 ≡ 2 (mod 7). А вот дата через 28 дней придется на тот же день недели, потому что 28 делится на 7 без остатка.

Начнем, пожалуй, с кодов дней недели – их легче всего запомнить:

По большому счету, здесь и запоминать-то ничего не надо: все точно соответствует привычной нам системе (ну, кроме воскресенья, которое, кроме 7, может быть и 0) [5].