Петр Путенихин - Правила счета элементов бесконечного множества

Давно замечено интересное и важное свойство математики, которая позволяет делать верные, но изначально просто как бы выдуманные описания нашего мира, предсказания:

"Существует вопрос, давно волнующий людей, задумывающихся об основаниях математики: почему математика столь эффективна при описании нашего мира и столь хорошо описывает его эволюцию? … Почему эти правила так хорошо работают?" [6]

Однако вряд ли следует слишком уж сильно этому удивляться и вспоминать еще одно её такое же удивительное свойство: способность дать любой желаемый результат. Эта математика так хорошо работает просто потому, что мы и вывели её из прямых наблюдений за окружающей действительностью. Эффективно работает, значит, верно подсмотрели. Более того, в науке и, в частности, в физике уже давно замечена еще одна интересная закономерность: кажущиеся поначалу абстрактными математические выражения, уравнения вдруг оказываются описанием какого-нибудь вполне реального явления:

"… физики обнаруживают, что математические построения, необходимые им для описания нового класса явления, уже исследованы математиками по причинам, не имеющим ничего общего с обсуждаемыми явлениями" [2, с.264].

Однако даже при таком явно полезном подходе следует все-таки быть предельно осторожным при формулировке выводов и следствий из этих математических построений. Можно привести ряд примеров, когда такие выкладки приводят не просто к противоречиям со здравым смыслом, но к довольно заметным противоречиям с логикой, содержат логические ошибки. Например, одним из наиболее известных таких странных выводов при исследовании бесконечных множеств элементов являются доказательства Кантора о равенстве числа точек на квадрате и линии, равной длине его ребра.

Приведённые в статье выкладки опубликованы в авторской книге [11].

В литературе по космологии встречаются весьма любопытные рассуждения о тождественных бесконечностях. В частности делается очевидный ошибочный вывод о том, что в бесконечности часть может быть равна целому:

«множество натуральных чисел (ℕ) равномощно множествам целых чисел (ℤ), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел (ℚ), а отрезок числовой прямой (𝕀 = [0,1], континуум) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой (ℝ), а также с n -мерным евклидовым пространством (ℝ n )» [1].

Несомненно, это противоречит нашей интуиции. Ведь четные числа явно составляют лишь половину всех целых чисел. Это справедливо для любой конечной совокупности чисел, но, как утверждается в цитате, не соответствует бесконечным рядам, для которых получается, что их количества равны. А утверждение в отношении отрезка буквально означает, что всем точкам отрезка соответствуют все точки всей евклидовой бесконечной плоскости. Такие же странные выводы о соотношении целого и части делаются и в космологии [7, с.77; 2, с.282].

И эти противоречащие здравому смыслу и логике выводы преподносятся в научно-популярной литературе, в книгах, в документальных фильмах (BBC) как строго доказанные факты. Ошибочность подобных методов можно показать, если произвести подсчет количеств натуральных чисел при различных способах их группирования, приводящие к любому произвольному результату.

Для доказательства указанной равномощности точек отрезка и квадрата Кантор использует противоречивый, нелогичный метод. Конечно, можно предположить, что методология и доказательства Кантора и приведенные в цитате утверждения являются узкими теоретическими, частными проблемами. Однако они в явном виде использованы для того чтобы поставить под сомнение, например, одно из основных положений понятия многомерности:

"… параметрическое определение размерности (по крайней мере в форме: "Размерность пространства – это минимальное число параметров, которые необходимы, чтобы отличать точки пространства друг от друга") математически некорректно. Это стало ясно после построенного Георгом Кантором (1845—1918) знаменитого примера взаимно-однозначного соответствия между множествами точек квадрата и отрезка" [4, с.32].

Рассмотрим некоторые доказательства, которые позволят решительно отвергнуть аргументы Кантора.