Виктор Шаповалов - Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Найденное значение с подставим в (13):

– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) ( y * возьмем из (9)):

(14)

Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A 1и A 2на новые постоянные A и φ 0по формулам

A 1= A sin φ 0и A 2= A cos φ 0

(легко увидеть, что ). Тогда

A 1cos δt + A 2sin δt = A (sin φ 0cos δt + cos φ 0sin δt) = A sin (δt + φ 0).

В результате (14) примет вид

(15)

Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.

Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго ( a = const ), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ , т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).

Сравним (15) с известным законом колебательного движения

x = A sin (ωt + φ 0).

Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω . Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω , получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

Рис. 1.Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y 1сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y 2. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1.Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6) 3). В нашем случае речь идет о Y 1и Y 2:

– скорость роста числа сотрудников;

– скорость увеличения капитала фирмы.