Виктор Шаповалов - Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Одним из основоположников современных представлений о самоорганизации является профессор Штуттгартского университета Г. Хакен. Еще в начале 1970-х годов Хакеном было замечено, какую важную роль в самоорганизующихся системах играют самосогласованные, коллективные движения частиц. Тогда же им был введен в современный научный язык термин « синергетика », которым теперь обозначается область науки, включающая в себя изучение любых кооперативных явлений природы.

По гречески слово synergeia означает коллективное (совместное) действие. Поэтому в своем названии синергетика как бы подчеркивает тот факт, что при объединении частиц в систему возникает новое качество, присущее только «коллективу» частиц. Заметим, что возникновение у системы нового качества означает, что появилась новая структура, порождающая это качество, т. е. произошла самоорганизация 1. Поэтому синергетику часто называют наукой о самоорганизации.

Синергетические системы – это открытые (незамкнутые) системы 2. В подавляющем числе случаев именно с такими системами нам приходится иметь дело. Характерной чертой современных исследований в области синергетики является упор на изучение нелинейного поведения. Под нелинейным поведением понимается неоднозначная реакция системы на внешнее воздействие. С математической точки зрения нелинейность возникает тогда, когда уравнение имеет несколько решений. Например, квадратное уравнение имеет два решения, кубическое – три, и т. д. В окружающем нас мире нелинейность проявляется в виде многовариантного поведения, т. е. когда у системы появляется возможность выбора из нескольких новых состояний.

Под внешним воздействием система становится открытой. В нелинейной динамике изменение внешнего воздействия соответствует изменению управляющих параметров. Управляющими параметрами называются константы (постоянные величины), входящие в эволюционное уравнение [2,14, 20]. В качестве последнего выступает уравнение вида

(1)

где Y i – переменные системы; t – время; F i – функция переменных, вид которой определяется свойствами системы; n — количество переменных, минимально необходимое для описания исследуемого процесса.

Управляющие параметры представляют в эволюционном уравнении (1) внешние условия, которые система изменить не может, и поэтому вынуждена под них подстраиваться [20]. Например, если система движется по выпуклой или вогнутой поверхности и при этом на нее действует сила тяжести и сила сопротивления среды, то в правую часть уравнения (1) в качестве постоянных величин войдут кривизна поверхности, ускорение свободного падения и коэффициент сопротивления среды. Эти постоянные величины будут управляющими параметрами. Изменить их система не может, поэтому ей придется двигаться, подстраиваясь к ним. В частности, она будет двигаться в направлении от выпуклости к вогнутости. Если мы изменим кривизну поверхности, поменяв, например, выпуклое на вогнутое, то это сразу же скажется на движении системы – оно изменится на обратное. Другими словами, изменяя значения указанных параметров, внешний мир управляет поведением системы. Собственно, поэтому эти параметры и названы управляющими.

Эволюционными уравнениями вида (1) описываются объекты весьма широкого класса. В том числе и такие, какие не могут быть отнесены к системам, например материальная точка. Предметом же настоящей книги являются самоорганизующиеся системы. В связи с этим необходимо уточнить, что мы понимаем в (1) под переменными Y i .

Прежде всего, предполагается, что нам известно, какие части системы являются ее элементами. Отдельные группы элементов могут образовывать подсистемы данной системы (в предельном случае подсистема может быть одна, т. е. совпадать с самой системой). Так вот, переменные Y i в эволюционном уравнении – это переменные, описывающие связи между подсистемами . Иными словами, отдельная Y i символизирует некоторую обобщенную характеристику коллективного движения элементов подсистемы.

Только при таком понимании Y i эволюционное уравнение (1) может описывать самоорганизацию. Действительно, если внешний мир изменит управляющие параметры, то процесс подстраивания системы к новым их значениям проявится в том, что элементы подсистем, представленных в (1) в виде обобщенных переменных, изменят свое коллективное движение. Это следует из того, что в (1) изменение управляющих параметров непосредственно влияет на значения Y i , т. е. на подсистемы, а не на их элементы. Следовательно, элементам придется самопроизвольно изменить взаимодействие между собой, чтобы их коллективное движение стало соответствовать новым значениям управляющих параметров. Иначе говоря, в системе произойдет самоорганизация (см. определение самоорганизации в первой сноске на с. 5).