Виктор Шаповалов - Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Чтобы определить принадлежность корней k 1,2к действительным или комплексным числам, необходимо знать знак разности β 2– 4 αγ . Для этого раскроем смысл постоянных коэффициентов α, γ и β.

Постоянная α появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение α , тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, α будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.

Постоянная γ появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F 1. Чем больше значение γ , тем больше влияние F 1на а, и наоборот. Поэтому γ должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.

Постоянная β является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F 2. От ее значения зависит, как изменение дохода ( dy/dt ) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если β мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F 2. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение β должно быть достаточно малым.

Таким образом, в экономически развитых регионах α и γ должны иметь сравнительно большие значения, а β – малое. Поэтому β 2 – 4 αγ < 0, т. е. в выражении для k 1,2разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k 1,2– комплексные:

где

(8)

Как видим, k 1,2соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение

y* = е – ηt (A 1cos δt + A 2sin δt) , (9)

где A 1и A 2− константы интегрирования.

Частное решение y 1определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α . Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно

f (t) = p (t) e γt . (10)

Действительно, для уравнения (5) функцию f ( t ) можно записать как

(11)

Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче

(12)

Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k 1,2. Поэтому для y 1выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.аиз раздела П1.4 Приложения):

y 1= q(t) e γt = q(t)

( e γt = 1, см. (12)). Определим вид q ( t ). Для этого учтем, что: а) q ( t ) – многочлен той же степени, что и р ( t ); б) в нашем случае р ( t ) – многочлен нулевой степени:

Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c . Тогда

y 1= q(t) = c. (13)

Постоянную с найдем, подставив y 1 в (5):

Воспользуемся (13):

Здесь мы учли, что