Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Длина окружности

Ответ: 85?/4.

41. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN (рис. 149). (2)

Рис. 149.

Решение: Из условия задачи следует, что угол NMQ острый. Пусть QK – высота треугольника MNQ. По условию LN ? MN и LN ? LQ, следовательно, MN||LQ и LN||QK, т. е. четырёхугольник KNLQ – параллелограмм. Тогда QK = LN и NK = LQ. Имеем, пользуясь условием задачи: QK = LN = LQ – 2, КМ = NM – NK = 2LQ – LQ = LQ. В прямоугольном треугольнике QKM отрезки QK и КМ являются катетами, следовательно,

и, значит, LQ – 2 = 2/3 LQ, откуда LQ = 6 и LN = 4. Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим:

Ответ:

42. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника, ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3. (рис. 150). (3)

Рис. 150.

Решение. Обозначим через h длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины В на продолжение стороны АС. Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем:

Из полученных равенств находим:

В треугольниках ABE и CED равны величины соответствующих углов (?АЕВ = ?CED, ?ABE = ?CDE). Значит, эти треугольники подобны и

Теперь из (1) и (2) находим, что

Треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Поскольку АВ||CD, то их высоты, опущенные соответственно из вершин С и D, имеют равную величину. Поэтому

Ответ:

43. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее основания равны 12 и 4 см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол в 45°. (1)

44. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно h. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите периметр трапеции. (1)

45. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции. (2)

46. Основания трапеции равны а и b, боковые стороны равны с. Найдите длину диагонали трапеции. (2)

47. Определите длину высоты трапеции, если её основания равны 28 и 16 см, а боковые стороны равны 25 и 17 см. (2)

48. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. (2)

49. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4. (3)

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = absin ?. Можно также воспользоваться формулой S = 1/2 d1d2 sin? где d1, d2 – длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.

50. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма (рис. 151). (1)

Рис. 151.