Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).

Рис. 94.

А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.

АМ = МВ и АК = КС.

Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).

Рис. 95.

В ?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

Свойства параллелограмма.

У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).

Рис. 96.

АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Признаки параллелограмма.

Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).

Рис. 97.

ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).

Рис. 98.

АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.

Свойства прямоугольника.

Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):

АС = BD.

Рис. 99.

Признак прямоугольника.

Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Свойства ромба.

Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).

Рис. 100.

AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.

Признак ромба.

Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Свойства квадрата.

Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Признак квадрата.

Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.

Свойство средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).

Рис. 101.

Критерии вписанного и описанного четырехугольников.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).

?А + ?С = ?В + ?D = 180°.

Рис. 102.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).

AB + CD = AD + BC.

Рис. 103.

Свойство хорд и секущих.

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).

Рис. 104.

Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).