Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.

В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Свойства параллельных прямых.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).

(а||с, b||с) ? а||b.

Рис. 57.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).

а||b ? ? = ?

? + ? = 180°.

Рис. 58.

Признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):

внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.

Рис. 59.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):

а||b.

Рис. 60.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):

а||b.

Рис. 61.

Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Рис. 62.

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Рис. 63.

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Связь между параллельностью и перпендикулярностью.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).

(а ? с, b ? с) ? а||b.

Рис. 64.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):

(а ? b, b||с) ? а ? с.

Рис. 65.

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны (рис. 66):

? = ?.

Рис. 66.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):

АВ = ВС ? ?А = ?С.

Рис. 67.

Теорема о сумме углов в треугольнике.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):

? + ? + ? = 180°.

Рис. 68.

Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Рис. 69.