Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Из определения следует, что квадраты чисел и кубы чисел являются полнократными числами, так как вторым числом в определении может быть единица. Два наименьших последовательных полнократных числа – это 8 и 9. Согласно гипотезе Эрдёша , не существует трёх последовательных полнократных чисел. В связи с понятием полнократных чисел стали рассматривать разложение чисел не только в сумму и произведение других чисел, но ввели в рассмотрение разложение чисел в виде разности двух полнократных чисел. Именно введение разности в рассмотрение – главное значение этого класса чисел. Ведь до сих пор упоминалось сложение, умножение, деление, а о разности даже не заикались. Любое нечетное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов: ( k +1) 2- k 2= k 2+2 k +1- k 2=2 k +1 – нечетное число. Аналогично в виде разности квадратов представимо любое число кратное четырем: ( k +2) 2- k 2= k 2+4 k +4- k 2=4 k +4. Встал вопрос о представлении в виде разности двух полнократных чисел любого числа, кратного двум, но не кратного четырем. Например, 2=3 3-5 2. Долго стоял вопрос с разложением числа 6, пока не доказали, что любое число допускает бесконечно много таких представлений. В частности, 6=25 2·7 3-463 2=214 375-214 369. На русском языке литературы о полнократных числах нет, но спасает то, что в Википедии дается перевод статей на русский и можно почерпнуть информацию.

***

Натуральное число называется необычным , если в его разложении на простые множители самый большой простой множитель строго больше квадратного корня из числа n . Как тяжело писать, когда нельзя употреблять ни редактор формул, ни встроенные символы и приходится использовать только то, что есть на клавиатуре. Вместо одного значка пишешь четыре слова. В определении приходится выходить из множества натуральных чисел и опираться на числа иррациональные, но для полноты охвата прилагательных, применимых к натуральным числам, не хотелось выбрасывать это определение. Все простые числа необычны. Для любого простого p все его кратные меньше p 2необычны. Первые несколько необычных чисел: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, … .

***

Сфеническое натуральное число (от др.-греч. сфена – клин) – число, равное произведению трёх различных простых чисел (так, например, 30=2·3·5; соответственно, число 30 является первым сфеническим). Количество делителей произвольного сфенического числа всегда равно 8. Например, если n = pqr , где p , q и r – разные простые числа, то делителями n будут: 1, p , q , r , pr , qr , pq , pqr Так первое сфеническое число 30 имеет делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30. Сфенические числа образуют последовательность: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, … . Примером двух последовательных сфенических чисел являются 230 (230=2·5·23) и 231 (231=3·7·11). Примером трёх последовательных сфенических чисел являются 1309 (1309=7·11·17), 1310 (1310=2·5·131) и 1311 (1311=3·19·23). Более чем трёх последовательных сфенических чисел быть не может, поскольку каждое четвёртое натуральное число будет делиться на 4.

***

Радостное число определяется следующим процессом: взяв некоторое натуральное число, замените число суммой квадратов его цифр и повторите процесс до тех пор, пока число либо не будет равно 1 (на чем процесс закончится), либо оно бесконечно крутится в цикле, который не включает 1. Те числа, для которых этот процесс заканчивается в 1, являются радостными числами, а те числа, которые не заканчиваются в 1, будут печальными числами. Происхождение радостных чисел не ясно. Если число радостно, то все члены его последовательности суммирования квадратов цифр радостны; если число печально, все члены последовательности печальны. Например, 19 является радостным, так получается последовательность (+) 219: 1 2+9 2=82, 8 2+2 2=68, 6 2+8 2=100, 1 2+0 2+0 2=1. В первой тысяче натуральных чисел есть 143 радостных числа: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100 … . Радость числа не зависит от перестановки цифр и вставки или удаления любого количества нулей в любом месте числа. Например, радостное число 19 порождает радостные числа: 91, 109, 190, 910 и так далее. Из этого утверждения следует радостный вывод о том, что радостных чисел бесконечно много.

Вариация радостных чисел состоит в том, чтобы, взяв некоторое натуральное число, заменить число суммой кубов его цифр и повторять процесс до тех пор, пока число либо не будет равно 1 (на чем процесс закончится), либо оно бесконечно крутится в цикле, который не включает 1. Например, берем число 1579 и проводим процесс кубирования: 1 3+5 3+7 3+9 3=1+125+343+729=1198, 1 3+1 3+9 3+8 3=1+1+729+512=1243, 1 3+2 3+4 3