Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Наименования подмножеств натуральных чисел выражаются не только прилагательными, но и именами собственными. В дальнейшем имена собственные будет встречаться чаще.

Числа Цукермана - такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. В честь какого Цукермана названы эти числа мне не удалось выяснить. Фамилия довольно распространенная и в русской интерпретации превращается в фамилию Сахаров. Определение этих чисел приведено в книге James J . Tattersall « Elementary Number Theory in Nine Chapters » издательства Кэмбриджского университета, 1999 года. Например, 135 – число Цукермана, так как 1+3+5=9; 135/9=15. Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включающие ноль, не являются числами Цукермана, так как произведение их цифр равно нулю, а деление на ноль невыполнимо. Первые несколько чисел Цукермана, состоящие более чем из одной цифры: 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384 … .

Числа Цукермана не могут содержать более чем восемь различных цифр, так как цифра 5 не может совмещаться ни с одной четной цифрой. Произведение четной цифры и 5 даст число, кратное 10, а исходное число не содержит цифры 0, следовательно, не может делиться на 10. Наименьшее число Цукермана, содержащие восемь различных цифр – это 1196342784. В свою очередь числа Цукермана это подмножество обнаженных чисел (извините, но есть и такие).

Натуральное число называют обнаженным , если оно делится на каждую из своих цифр в отдельности (которые должны быть ненулевыми). Например, 48=4·12=8·6, 672=6·112=7·96=2·336. Введение этого термина объясняют тем, что такие числа раскрывают (обнажают) свои сокровенные тайны. В первом миллионе натуральных чисел содержится 9039 обнаженных чисел. Всего таких чисел бесконечно много, так как любое моноцифровое число является обнаженным.

Первые обнаженные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 112, 115, 122, 124, 126, 128, … . Насколько мне удалось выяснить, этот странный термин ввел некий У. Катагири. Фамилия, распространенная в Японии настолько, что установить, кто он такой не удалось.

Процесс отыскания и наименования новых классов чисел среди чисел натуральных, кроме уже рассмотренных, шел сотни лет. Придумано так много разного, что издание с кратким описанием всего открытого и названного должно быть многотомным. Можно только на свой вкус отобрать конечное множество разнообразных определений чисел, и в какой-то момент сказать себе стоп! Попробуем так и сделать.

***

Бесквадратным , или свободным от квадратов , называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 – свободное от квадратов , а 18 – нет, так как 18 делится на 9=3 2. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … .

Натуральное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза, то есть все простые множители входят в разложение числа только в первой степени.

***

Гладким числом называется натуральное число, все простые делители которого малы. Поскольку понятие «делители малы» может быть истолковано произвольно, чаще всего гладким числом называют такое, чьи простые делители не превосходят 10 (то есть, фактически равны 2, 3, 5 или 7).

Натуральное число называется M - гладким , если все его простые делители не превосходят M . Исходя из этого определения, можно говорить о 3-гладких, 5-гладких, 7-гладких и т. д. числах. Например, к 3-гладким числам относятся: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, ….Все они в разложении на простые множители имеют только два простых числа 2 и 3 в различных степенях. Число 5000 имеет следующее разложение на множители: 2 3·5 4. Поэтому 5000 – это 5-гладкое число, а также 6-гладкое число и так далее, но не 4-гладкое. В основном определении гладкого натурального числа, останавливаются на множителях 2, 3, 5 или 7, следовательно, это определение соответствует 7-гладкому числу. Последовательность таких чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, … . То есть, из натурального ряда чисел выбрасываются числа, кратные простым числам начиная от 11 и выше.

***

Полнократное число – натуральное число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. Эквивалентное определение: число, представимое в виде a 2· b 3, где a и b натуральные числа. Наименование придумано математиком Соломоном Голомбом. Когда мы подходим ближе к нашему времени уже можно четко понять, кто ввел в оборот те или иные числовые определения, история сохраняет имена первооткрывателей. Последовательность полнократных чисел: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, … .