Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Ремарка для специалистов : расстояние Хэмминга удовлетворяет неравенству треугольника .

Что совсем не одно и то же!

На языке Po bebop означает «elastic» («резинка»). Хотелось бы думать, что мы имеем дело с неизвестным фактом из истории джаза – истории во многом загадочной; но скорее всего это просто совпадение [ бибоп – стиль джаза, сложившийся в 1940-е; название происходит от набора бессмысленных слогов, используемых в вокальных партиях; ярким представителем стиля бибоп было трио Joshua Redman Elastic Band. Прим. М. Г. ].

На сайте lojban.orgв разделе «Часто задаваемые вопросы» сказано, что количество людей, владеющих языком ложбан на разговорном уровне, «составляет примерно столько, сколько можно сосчитать на пальцах одной руки», – на мой взгляд, очень даже неплохо.

Точнее говоря, сфера – это множество точек, расположенных от центра на расстоянии ровно 1; пространство, описанное здесь, представляет собой полную сферу, которую обычно называют шаром .

Другими словами, на расстоянии 0 или 1, поскольку расстояния Хэмминга в отличие от обычных расстояний должны быть выражены в целых числах.

И. Кеплер . О шестиугольных снежинках / Пер. с лат. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1982.

Есть очень похожая упаковка, называемая гексагональной : в ней слои укладываются несколько иначе. Возможны также смешанные упаковки. Прим. М. Г.

При кубической упаковке получается ромбический додекаэдр, состоящий из двенадцати ромбов (такую же форму имеют некоторые кристаллы минерала гранат), при гексагональной – трапецеромбический додекаэдр, состоящий из шести ромбов и шести трапеций. Прим. М. Г.

Однако нам известно, что атомы алюминия, меди, золота, иридия, свинца, никеля, платины и серебра в твердой форме образуют гранецентрированную кубическую конфигурацию. Это еще один пример математической теории, нашедшей такое применение, которое ее создатели даже не представляли.

Хотя в тех случаях, когда сигналы моделируются в виде последовательностей действительных чисел, а не в виде последовательностей нулей и единиц, задача упаковки сфер – именно то, что нужно для разработки эффективных кодов с исправлением ошибок.

Кон работает в Microsoft Research, подразделении корпорации Microsoft; Microsoft Research в каком-то смысле продолжает традицию исследовательского центра Bell Labs, где в свое время была реализована модель поддержки чистой математики со стороны индустрии высоких технологий – хотелось бы надеяться, на благо обеих.

Про историю поиска плотных упаковок см.: Н. Дж. А. Слоэн . Упаковка шаром // В мире науки. 1984. № 3. С. 72–82. Оптимальность решетки Лича, а также решетки Е8 в восьмимерном пространстве доказала в 2016 году украинский математик Марина Вязовская, работающая в Берлине; см.: E. Klarreich . Sphere Packing Solved in Higher Dimensions // Quanta Magazine. 2016. March 30 ( https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions/). Вопрос об упаковках для размерностей, отличных от 1, 2, 3, 8, 24, остается открытым. Прим. М. Г.

Это еще одна замечательная и лихо закрученная история, но слишком длинная, чтобы здесь в нее погружаться; вы можете прочитать о ней в книге: M. Ronan . Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematic. Oxford University Press, 2007.

Какой в этом смысл, если Шеннон доказал, что совершенно случайный выбор кода должен обеспечить в точности такой же результат? В какой-то степени вопрос закономерен, но теорема Шеннона в самом строгом ее виде требует, чтобы кодовые слова были произвольной длины. В нашем примере, когда кодовые слова должны иметь фиксированную длину 48, немного дополнительных усилий позволяют превзойти случайный код, что и сделал Деннистон.

В математических терминах это следствие того, что список билетов Деннистона образует так называемую систему Штейнера .

Дополнение, сделанное, когда книга была в печати. В январе 2014 года молодой математик из Оксфорда Питер Киваш объявил, что он может доказать существование практически всех систем Штейнера, которые приходили в голову математикам.

Б. Паскаль . Мысли / Пер. с фр., вступ. статья, коммент. Ю. А. Гинзбург. М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995. С. 115. Прим. ред.