Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Или как минимум эти картины имели сходство с определенными типами зрительных образов тех объектов, которые были на них изображены. Многие годы спустя такие картины начали называть реалистичными. Правда, вопрос, что считать «реализмом», стал предметом бурных разногласий в искусствоведческой среде – споры на сей счет длятся примерно столько, сколько существует само искусствоведение.

Анахронизм, согласен, однако примите это как данность. [Для простоты давайте еще считать, что художник одноглаз, иначе придется разбираться с тонкими особенностями бинокулярного зрения. – Прим. М.Г. ]

У. Черчилль . Мои ранние годы / Пер. Е. Осеневой, В. Харитонова. 1874–1904. М.: КоЛибри: Азбука-Аттикус, 2011. С. 33. Прим. ред.

Однако, если все линии, на которых находится точка R , являются вертикальными, что представляет собой линия, проходящая через точки R и Р ? Это линия, которую мы не нарисовали, – бесконечно удаленная линия, содержащая в себе все бесконечно удаленные точки и ни одной точки евклидовой плоскости.

Аллюзия на так называемый утиный тест, или дак-тест, – шутливый тест на очевидность происходящего; в его основе лежит фраза американского поэта Джеймса Уиткомба Райли (1849–1916): «Когда я вижу птицу, которая ходит как утка, плавает как утка и крякает как утка, я называю эту птицу уткой». Прим. М. Г.

Справедливости ради стоит отметить, что есть еще одна ситуация, в которой плоскость Фано действительно напоминает более традиционную геометрию. Декарт учил нас, что точки на плоскости можно представить в виде пар координат x и y , то есть действительных чисел. Если вы используете декартову систему координат, но укажете координаты в системе счисления, отличающейся от действительных чисел, то получите другие геометрии. Если вы построите картезианскую геометрию с использованием столь любимой программистами булевой системы счисления, состоящей только из двух чисел: 0 и 1, получится плоскость Фано. Это замечательная история, но она выходит за рамки материала данной книги; правда, ниже вы найдете очень сжатый рассказ об этих проблемах:

«Проективную плоскость можно представить в виде множества линий, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве; при этом линии на проективной плоскости соответствуют плоскостям, проходящим через начало координат. Плоскость, которая проходит через начало координат в трехмерном пространстве, описывается уравнением вида ax + by + cz = 0. Плоскость, проходящая через начало координат в булевом трехмерном пространстве, также задается уравнением ax + by + cz = 0, только теперь a, b, c могут принимать значения либо 0, либо 1. Следовательно, существует восемь возможных уравнений такого вида. Более того, если принять a = b = c = 0, получится уравнение (0 = 0), которое выполняется при всех значениях x, y и z , а значит, не определяет плоскость. Таким образом, всего имеется семь плоскостей, проходящих через начало координат в булевом трехмерном пространстве, а это значит, что на булевой проективной плоскости существует семь прямых линий, что и требовалось доказать».

В каждом сигнале в той или иной мере присутствуют искажения.

C. E. Shannon . A Mathematical Theory of Communication // Bell System Technical Journal. 1948. Vol. 27. Рр. 379–423; К. Э. Шеннон. Математическая теория связи // К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике / Пер. С. Карпова. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С. 243–332. Прим. М. Г.

Эта тема прекрасно освещена в книге Яна Хакинга The Emergence of Probability («Возникновение теории вероятностей»).

Техническая ремарка для тех, кому интересно то, что я здесь описываю. Собственно, я рассматриваю код, двойственный к обычному коду обычного кода Хэмминга – это частный случай перфорированного кода Адамара.

Если исходное кодовое слово – это 0000000, тогда при наличии одного искаженного бита в сообщении было бы шесть нулей и только одна единица, а значит, получатель может быть совершенно уверен в том, что строка 0000000 и есть надлежащий сигнал.

Если вы не думали об этом раньше, то скорее всего вам было трудно отслеживать мой ход рассуждений. Причина, почему так трудно следить за подобными выкладками, состоит в том, что такую тему невозможно осмыслить, просто сидя и читая о ней. Вы должны взять карандаш и попробовать записать множество из четырех точек, содержащее две разные прямые линии на плоскости Фано, а после того, как вы не справитесь с заданием, – понять, почему вам не удалось его выполнить. Другого способа нет. Предлагаю писать все это прямо на страницах книги, если только вы не взяли ее в библиотеке или не читаете ее на экране.