Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Помимо следующих далее рассуждений, необходимо учитывать еще и невозможность строго исполнять контракт. Если у Петра закончатся деньги, он откажется (не сможет) платить. Павел может выиграть сколько угодно дукатов, но не сможет получить свой выигрыш. Прим. М. Г.

Предостережение: использование таких интуитивных аргументов применительно к бесконечным суммам сопряжено с большой опасностью. Это приемлемо для данного примера, но было бы совершенно неправильно в случае более сложных сумм, особенно тех, которые содержат положительные и отрицательные члены.

Хотя, как отметил в 1934 году Карл Менгер (научный руководитель Абрахама Вальда), существуют различные варианты санкт-петербургской игры, причем настолько щедрые, что даже логарифмические игроки Бернулли согласились бы заплатить сколько угодно дукатов за возможность принять в ней участие. Что если k -й приз составляет 22 k дуката?

В связи с этим большинство людей сказали бы, что кривой полезности в буквальном смысле не существует, а значит, ее следует воспринимать как общий ориентир, а не как реальную линию определенной формы, которую мы еще точно не измерили.

См. документальный фильм Мартина Скорсезе «Беседы с Фран Лебовиц» (Public Speaking, 2010).

В книге Social Studies («Социальные исследования») Фран Лебовиц писала: «Твердо стойте на своем нежелании вникать в формулы алгебры. В реальной жизни, уверяю вас, никакой алгебры нет». Я утверждаю, что эти слова свидетельствуют о присутствии математики в жизни Лебовиц, как бы она к ней ни относилась!

Первое изд. на англ. яз. см.: P. S. Laplace . A Philosophical Essay on Probabilities / Trans. F. W. Truscott, F. L. Emory. New York: John Wiley & Sons; London: Chapman & Hall, 1902. Издана на русском языке: П. С. Лаплас . Опыт философии теории вероятностей. М.: Либроком, 2011. Прим. М. Г.

Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн . Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. Прим. М. Г.

Тот самый Оскар Моргенштерн, который помог Абрахаму Вальду выбраться из области чистой математики, а со временем и из оккупированной Австрии.

RAND Corporation (аббревиатура от Research and Development – «исследования и разработки») – американский исследовательский стратегический центр; некоммерческая организация, которая осуществляет по заказам правительства исследования в интересах национальной безопасности и общественного благополучия, проводит разработки новых методов анализа стратегических проблем и новых стратегических концепций. Прим. М. Г.

Никакой урны я никогда не видел, но в теории вероятностей существует в некотором роде железное правило: если есть шары разных цветов, значит, должна быть и урна, в которой они находятся.

Некоторые аналитики, такие как Нассим Николя Талеб, утверждают – и, на мой взгляд, вполне обоснованно, – что было бы неисправимой ошибкой вообще присваивать столь редким событиям числовое значение вероятности.

Р. Ловенстайн . Когда гений терпит поражение. Взлет и падение компании Long-Term Capital Management, или Как один небольшой банк создал дыру в триллион долларов. М.: Олимп-Бизнес, 2006. Прим. ред.

Безусловно, есть все основания полагать, что отдельные представители банков знали о довольно большой вероятности инвестиционных провалов, но лгали об этом. Однако дело вот в чем: даже когда банкиры ведут себя честно , материальные стимулы подталкивают их к совершению рискованных действий, возможно, даже в ущерб инвесторам.

Б. Малкиел . Случайная прогулка по Уолл-стрит. Минск: Попурри, 2006. Прим. М. Г.

Если учитывать 29 февраля, то 366 дней. Но здесь подобная степень точности не требуется, мы к ней и не стремимся.

Первым человеком в паре может быть любой из тридцати гостей, вторым – любой из оставшихся двадцати девяти, что дает 30 × 29 вариантов. Однако здесь одна пара засчитывается дважды, как пары [Эрни, Берт] и [Берт, Эрни]. Таким образом, правильное количество пар – (30 × 29)/2 = 435.

Если только вы не слышали о гуголплексе. Это с ума сойти какое большое число [гугол = 10100, то есть в десятичной записи единица и сто нулей; гуголплекс = 1010^100 = 10гугол, единица и гугол нулей. Прим. М. Г. ].