Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

К тексту

Нам необходимо найти цену четырех товаров, но из условия задачи мы знаем только сумму и произведение их цен.

Давайте запишем уравнения. Пусть цены товаров – a, b, c и d. Кассир говорит, что:

[1] a × b × c × d = abcd = 7,11;

[2] a + b + c + d = 7,11.

Согласно основной теореме арифметики, каждое целое число равно произведению уникального множества простых чисел. Эта теорема будет весьма полезна, но мы пока не можем ее применить, поскольку она касается целых чисел, а произведение [1] – дробное число. Наша задача – превратить уравнение [1] в уравнение с целыми числами, что мы сделаем посредством следующих подстановок.

Пусть A = 100 a , B = 100 b , C = 100 c и D = 100 d. Умножив эти значения, получим:

[3] A × B × C × D = ABCD = 100 000 000 abcd.

Но мы знаем, что abcd = 7,11. Значит:

[4] ABCD = 711 000 000.

Теперь у нас есть число, с которым мы можем работать. Основная теорема арифметики говорит нам, что произведение уникального набора простых множителей, то есть простых чисел, равно числу 711 000 000. Эти множители можно найти вручную или, что предпочтительнее, с помощью компьютера:

711 000 000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 79.

Значит, ABCD = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 79.

Таким образом, числа A, B, C, D состоят из простых чисел. Вопрос в том, как определить, произведение каких чисел дает значение A, произведение каких чисел равно значению B, произведение каких чисел образует C и произведение каких чисел равно D. Другими словами, как соотнести эти числа со значениями A, B, C, D?

Теперь вернемся к уравнению [2] и умножим его на 100, чтобы получить второе уравнение с A, B, C, D:

[5] 100 a + 100 b + 100 c + 100 d = A + B + C + D = 711.

То есть мы должны распределить приведенные выше простые числа между A, B, C и D так, чтобы их сумма составляла 711.

Плохо, что здесь нет короткого пути, – необходимо просто применить метод проб и ошибок. Предположим, например, что A = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, B = 3 × 3 = 9, C = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15 625 и D = 79. В таком случае A + B + C + D = 15 777, а значит, мы сделали неправильный выбор.

Теперь решение задачи во многом зависит от удачи, но постепенно вы начнете понимать, какими именно должны быть значения A, B, C, D. Кроме того, вы можете сделать ряд предположений. У нас много пятерок, следовательно, два или три числа могут быть кратными пяти. В таком случае их сумма будет заканчиваться цифрой 0 или 5, а последнее число должно заканчиваться цифрой 6 или 1. Какое наименьшее кратное числа 79 заканчивается цифрой 6 или 1? Это 79 × 4 и, конечно же:

A = 79 × 2 × 2 = 316;

B = 5 × 5 × 5 = 125;

C = 5 × 3 × 2 × 2 × 2 = 120;

D = 5 × 5 × 3 × 2 = 150.

Таким образом, цены a, b, c, d – это 3,16; 1,25; 1,20; 1,50 фунта.

Красота этой головоломки не в довольно трудоемких операциях, выполненных методом проб и ошибок, а в том, как блестяще число 7,11 обеспечивает единственно возможное решение для каждой из четырех переменных.

К тексту

Прочитайте решение задачи о бильярдном столе, описанное в разделе головоломки о трех кувшинах.

К тексту

Надеюсь, вы разобрались в задаче о бильярдном столе.

На первом рисунке показано, что произойдет, когда вы сделаете удар кием по шару в точке (7; 0), то есть сначала наполните ведро на 7 галлонов. Второй рисунок соответствует удару кием по шару из точки (0;5), то есть когда вы сначала наполните ведро на 5 галлонов. На первом рисунке шар совершает меньше отскоков, прежде чем попасть в бортик в точке с горизонтальной координатой 6, – так что это способ налить 6 галлонов воды за минимальное количество переливаний.

Координаты движения шара на первом рисунке, которые представляют количество галлонов в случае каждого переливания, таковы: (7; 0), (2; 5), (2; 0), (0; 2), (7; 2), (4; 5), (4; 0), (0; 4), (7; 4) и (6; 5). Следовательно, быстрее всего – налить 7 галлонов в первое ведро, оставив второе пустым, затем налить 5 галлонов во второе ведро, оставив в первом ведре 2 галлона, и так далее – до тех пор, пока в первом ведре не окажется 6 галлонов воды, а второе ведро не будет полным.

К тексту

Предположим, в термосе 100 миллилитров кофе, а в чашке – 100 миллилитров молока. Допустим, мы налили 10 миллилитров кофе в молоко. Теперь в чашке с молоком 110 миллилитров.