Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

"То, что я понял, прекрасно, из этого я заключаю, что остальное, чего я не понял, тоже прекрасно", — высказался в свое время Сократ по поводу неясностей у Гераклита. Быть может, эти слова послужат неким утешением для того, кто не сумеет одолеть суть радиотехнического дебюта листа Мёбиуса. Хотя понять ее не так уж невозможно. Есть простой, но в данном случае неприятный для радиотехников факт: каждое тело имеет форму и как-то располагается в пространстве. А потому оно ведет себя либо как маленький конденсатор — обладает собственной электрической емкостью и, значит, оказывает переменному току емкостное сопротивление, либо поступает подобно крохотному дросселю — тогда его сопротивление индуктивное. Оба эти сопротивления, оказываемые телом электрическому току, называют реактивными. И избавиться от них, как и от того, что у него есть какая-то форма, ни одно тело как будто не может.

А теперь вспомним факт, в котором нам только что пришлось убедиться: "трижды толстый мёбиус" можно сделать по-разному — и из трех отдельных частей, и всего из двух: короткой центральной и особым образом уложенной длинной заготовки, которая одна образует обе боковые стороны. Значит, ток в безреактивном сопротивлении дважды проходит по одному и тому же месту в пространстве, но оба раза в противоположных направлениях, пробегая по длинной ленте — алюминиевым полоскам, уложенным "восьмеркой" с двух сторон короткой резиновой полосы, служащей изолятором. Таким образом, реактивность реактивностью же и уничтожается. И потому такое закрученное сопротивление остается чисто активным, даже если изгибать его как угодно или помещать в любое внешнее поле.

Конечно, радиотехники должны быть особенно благодарны Августу Фердинанду Мёбиусу — ведь им приходится иметь дело с миллионами герц, а чем выше частота, тем больше "реактивность" каждого элемента схемы и тем больше помех вносят в ее работу нынешние "нечисто активные" сопротивления. Но, пожалуй, с еще большим энтузиазмом встретят новое изобретение физики, которые занимаются сверхпроводимостью. Как известно, при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю, сопротивление электрическому току вдруг пропадает и он может течь неограниченно долго, не требуя никакого притока энергии извне. Да, но речь идет об активном сопротивлении. Реактивное же сопротивление сверхнизкой температурой и всей невероятно сложной техникой, созданной для ее получения, не уничтожается. Зато простейшее геометрическое преобразование обещает физикам скорую и неожиданную помощь. Быть может, мечта о вечном электрическом двигателе, не требующем никакой энергии для своей работы, теперь уже близка к своему осуществлению...

Но до сих пор речь шла всего об одном свойстве листа Мёбиуса — о его односторонности. А ведь у него есть еще и другие подобные свойства. Но какие подобные? Математик назвал бы их топологическими.

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который — и это далеко не всем известно — почти в то же время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам единожды перекрученную ленту. Наука та молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать — делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло — все ее свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются и при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы — "взрыва" фигуры. Потому иногда топологию называют "геометрией непрерывности". Она известна и под именем "резиновая геометрия", потому то топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик ie лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

"Сотри случайные черты, и ты увидишь — мир прекрасен", — писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолетных маршрутов и географическую карту, о убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между географической картой и топологической схемой (а транспортники — бессознательные топологи) есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. И при этом муравью на гравюре Эсхера ни разу не придется переползать через край "ленты". Разрывов нет — непрерывность полная.