Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

Человечество пошло не по пути овладения третьим измерением, а по пути его "приручения": люди старались втиснуть объем в плоскость, изобразить окружающий мир на скале, песке или папирусе.

"В нашем трехмерном мире нет по-настоящему ни двумерных, ни четырехмерных вещей, ничто не абсолютно плоско, даже самое тщательно отполированное зеркало. но будем по привычке называть стену или лист бумаги плоскими. с ранних лет человек рисует на таких "плоскостях", чтобы дать впечатление о пространстве, глубине и объеме — так, словно это самая .простая вещь на свете, но разве это не абсурдно — нарисовать на бумаге несколько линий и сказать: "Это дом"?" — эти слова принадлежат Mayрицу Эсхеру. Взгляните на его гравюру "Балкон" — эту удивительную попытку вырваться в третье измерение. Вот что говорит о ней сам автор: "Будем помнить, что пространственное изображение квартала домов и солнца, сияющего над ним, — это чистая фикция: ведь бумага — не что иное, как плоскость, даже если она покрыта освещенными и затемненными участками. Но в порыве самонасмешки, словно издеваясь над собственной беспомощностью, художник сделал попытку разорвать единство плоской поверхности в центре рисунка. Он нанес по задней стороне его удар такой силы, что явно проступило вздутие. Впрочем, результат все равно равен нулю, потому что бумага так и осталась плоской..."

8

Попытки "разорвать единство плоской поверхности" сделаны и в других гравюрах Эсхера: "Рептилии", "Дорические колонны", "Три сферы. I" и "Дракон". Третье измерение здесь буквально вырастает из второго — взаимосвязь видна со всей графической отчетливостью.

Вся беда в том, что мы сами живем в третьем измерении и поэтому смотрим на него "изнутри", наш объемный мир мы видим как бы плоским. Звучит парадоксально, но поместите лист бумаги с нарисованной на нем Плосколяндией и всеми ее обитателями точно на уровне глаз — и вы на секунду испытаете трагедию плоскатиков, обреченных жить в двух измерениях, но ощущать лишь одно. Ведь чтобы увидеть фигуру — квадрат ли, круг, им надо хоть немного "выскочить" из своей плоскости. Но это невозможно, и именно поэтому весь мир они воспринимают как одну сплошную "женщину" — прямую линию. Остается лишь обойти фигуру со всех сторон и ощупать ее, но только представители "низших классов" в Плосколяндии могут позволить себе, да и то изредка, столь вульгарное поведение. "Лучше плохо видеть, чем хорошо щупать!" — одна из первых заповедей воспитанного человека в этой стране.

В предисловии ко второму изданию своей книги Эдвин Эбботт отверг обвинения в женоненавистничестве, хотя и согласился с критиками, что он обрек плоскатиков на ужасную жизнь. Однако, заявил он, плосколяндцы обладают третьим измерением, но только оно вне их восприятия — ведь их мир одной толщины.

9

Так не обладаем ли и мы в зачаточной форме четвертым измерением, несмотря на то что даже третье, не освоено еще нами полностью?

Вместо ответа на этот вопрос — несколько совсем уж поразительных фактов, связанных с пространствами более чем четырех измерений.

Помните спор Ньютона и Грегори о тринадцати шарах, касающихся четырнадцатого? Сколько таких целующихся гипершаров может быть в четырехмерном пространстве? Оказывается, 24. А в пространствах пяти, шести, семи, восьми измерений соответственно 40, 72, 126 и 240. Последнее число было найдено в конце прошлого века русскими математиками А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым и уже известным нам англичанином Форольдом Госсетом.

Но это не самое удивительное в парадоксах многомерности. Вот еще один и последний. Куб вместит в себя по диагонали квадрат, площадь которого больше площади одной его грани. В четырехмерный куб впишется обычный куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба. А в n-мерный куб с ребром в один миллиметр войдет океанский корабль и весь наш трехмерный мир, если только п достигнет нужной величины.

Попытайтесь представить себе эти непредставимые вещи — и вы услышите музыку сфер, о которой, собственно, и шла речь в этой главе.