Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Проблема не была связана с работой над рядами Фурье. Эта работа была сделана, и Риман был уверен в ее качестве и точности. Нет, проблему представлял последний шаг получения степени доктора хабилис. Кандидат должен был прочесть публичную лекцию. В свое время он предложил три темы: две по математической физике электричества – предмет, который он тоже изучал под руководством Вильгельма Вебера, а в третьей Риман замахнулся на основания геометрии, где у него были кое-какие интересные, но незаконченные идеи. Выбрать из этих трех тем должен был Гаусс, который в то время работал с Вебером и глубоко интересовался электричеством. Однако Риман упустил из виду, что Гаусс столь же глубоко интересовался и геометрией и не прочь был услышать то, что Риман думает по этому поводу.

Так что теперь Риман из кожи вон лез, пытаясь развить свои достаточно неопределенные идеи относительно геометрии в нечто, что могло бы произвести настоящее впечатление на величайшего математика своего времени, причем в области, о которой этот великий человек размышлял значительную часть своей жизни. Начальной точкой размышлений Римана был результат, которым Гаусс особенно гордился, – его Theorema Egregium (см. главу 10). Эта теорема определяет форму поверхности без отсылки к какому бы то ни было окружающему пространству, и ее появление ознаменовало рождение дифференциальной геометрии. Она подвела Гаусса к изучению геодезических кривых, кратчайших путей между точками – и кривизны, количественно отражающей, насколько та или иная поверхность искривлена в сравнении с обычной Евклидовой плоскостью.

Риман планировал обобщить всю теорию Гаусса в радикально новом направлении – для пространств произвольной размерности. Математики и физики тогда только начинали осознавать мощь и ясность геометрической мысли в «пространствах» с бо́льшим числом измерений, чем обычные два или три. В основании этой альтернативной точки зрения лежало нечто понятное – математика уравнений со многими переменными. Переменные играют роль координат, так что чем больше переменных, тем выше размерность этого понятийного пространства.

Попытки разработать новые представления о многомерных пространствах привели Римана на грань нервного срыва. Ситуацию осложняло еще и то, что одновременно он помогал Веберу разбираться с электричеством. К счастью, взаимовлияние электрических и магнитных сил привело Римана к новой концепции «силы», основанной на геометрии: то же самое озарение несколько десятилетий спустя привело Эйнштейна к специальной теории относительности. Силы можно заменить кривизной пространства. Вот он – новый взгляд, необходимый Риману для подготовки лекции.

В лихорадочной спешке молодой человек перебирал фундаментальные положения современной дифференциальной геометрии, начиная с концепции многомерного многообразия и понятия расстояния, определяемого метрикой. Это формула расстояния между любыми двумя точками, расположенными очень близко друг к другу. Он определил более сложные величины, известные сегодня как тензоры, привел общую формулу для кривизны, представленной как особый вид тензора, и записал дифференциальные уравнения, определяющие кратчайшее расстояние между точками. Кроме того, он пошел еще дальше, черпая, вероятно, вдохновение из общения с Вебером, и порассуждал о возможных взаимосвязях дифференциальной геометрии с физическим миром.

Эмпирические понятия, на которых базируются метрические определения пространства, – понятие твердого тела и светового луча – перестают работать при бесконечно малых расстояниях. Поэтому мы вольны предположить, что метрические отношения пространства в бесконечно малом масштабе не согласуются с гипотезами геометрии; мало того, мы просто обязаны предположить это, если таким образом мы можем получить более простое объяснение явлений.

Лекцию Римана ждал триумф, хотя Гаусс был единственным из присутствующих, кто, пожалуй, мог до конца понять сказанное. Оригинальность Римана произвела на Гаусса большое впечатление, и он сказал Веберу, что удивлен глубиной исследования. Рискованный выбор темы, сделанный под влиянием момента, оправдался в полной мере.

В дальнейшем озарения Римана развили Эудженио Бельтрами, Элвин Бруно Кристоффель и итальянская школа под руководством Грегорио Риччи и Туллио Леви-Чивита. Позже их работа очень пригодилась Эйнштейну при создании общей теории относительности. Если Эйнштейна интересовали очень большие пространства, то взгляд Римана в физике был сосредоточен на очень маленьком. Однако и то и другое восходит к Римановой лекции.