Таким образом, верные рассуждения, начатые с ложной посылки, могут привести как к ложному, так и к истинному утверждению.
Другой подход, позволяющий получить тот же результат, состоит в том, чтобы задать вопрос: что нужно, чтобы опровергнуть высказывание «если A, то B»? То есть доказать его ложность. К примеру, чтобы опровергнуть высказывание
Если бы у свиней были крылья, они бы летали,
мы должны продемонстрировать крылатую нелетающую свинью. Так что «если A, то B» ложно, если A истинно, а B ложно, а во всех остальных случаях оно истинно, поскольку мы не можем доказать обратного.
Это рассуждение – не доказательство. Это объяснение договоренности, которая используется в логике предикатов. В модальной логике с условными высказываниями обращаются иначе. К примеру, утверждение о крылатых свиньях считалось бы верным при условии, что крылья пригодны для полета. А вот аналогичное высказывание
Если бы у свиней были крылья, они бы играли в покер
считалось бы ложным, поскольку – даже гипотетически – обладание крыльями никак не способствует игре в покер. Напротив, последнее высказывание в логике предикатов рассматривается как истинное, поскольку крыльев у свиней нет. Покер тут вообще ни при чем. Этот пример иллюстрирует некоторые трудности, с которыми столкнулись Буль и другие первые логики, и предупреждает: не стоит считать, что сегодняшние договоренности – обязательно последнее слово науки.
Использование Булевой алгебры, или исчисления высказываний, в расчетах объясняется представлением числовых и других данных в двоичной системе, то есть с использованием только двух цифр: 0 и 1. В простейших случаях это соответствует состояниям «нет электрического напряжения» и «есть электрическое напряжение» (на заданном уровне, скажем, 5 В). В сегодняшних компьютерах все данные, включая программы, кодируются в двоичной системе. Эти данные обрабатываются электронными схемами, которые, помимо прочего, производят операции исчисления высказываний – по существу, Булевой алгебры. Каждая такая операция соответствует своеобразному «вентилю», и когда электрический сигнал или сигналы проходят через этот вентиль, то выходной сигнал, определяемый входным или входными сигналами, зависит от «зашитой» в этом вентиле логической операции.
Первым эту идею выдвинул гуру теории информации Клод Шеннон. Действия с цифровыми данными, производимые компьютерами, могут быть реализованы на подходящих электронных схемах, собранных из логических вентилей. Так что Булева алгебра – естественный математический язык компьютеров. Первые инженеры-электронщики реализовывали эти операции на релейных, а затем на ламповых схемах. С изобретением транзистора радиолампы сменились твердотельными (полупроводниковыми) схемами; сегодня мы пользуемся сложным набором невероятно крохотных схем на основе кремниевых кристаллов.
Проведенная Булем формализация логики в символьном виде открыла нам новый мир, проложила путь цифровой эре, плодами которой мы сейчас наслаждаемся. И часто клянем их, поскольку еще не овладели до конца своими новыми технологиями, хотя и передаем им постепенно все больший контроль над самыми разными составляющими нашей жизни.
15. Музыкант простых чисел. Бернхард Риман
Бернхард Риман впервые проявил мощный математический талант, техническое мастерство и оригинальность в возрасте 20 лет. Мориц Штерн, один из его наставников, позже сказал, что «он уже тогда пел, как канарейка». Другой его наставник, Гаусс, впечатлился не так сильно, но и курсы, которые он вел, были элементарными и не давали студенту возможности проявить свои подлинные способности. Вскоре даже Гаусс понял, что Риман необычайно талантлив, и согласился консультировать его по докторской диссертации. Тема диссертации – комплексный анализ – была близка сердцу Гаусса. Он с похвалой отозвался о работе как о «великолепной, плодотворной, оригинальной» и организовал для Римана место преподавателя начального уровня в Гёттингенском университете.
В Германии следующим шагом после защиты степени доктора философии являлась так называемая хабилитация – получение более высокой ученой степени, требующее глубоких исследований; она открывала путь к настоящей академической карьере, давая обладателю право стать приват-доцентом, то есть читать лекции и получать жалованье. Риман провел два с половиной года за весьма плодотворными исследованиями теории рядов Фурье (глава 9). Исследование было проведено качественно, но сам он начал подозревать, что взвалил на себя непосильную ношу.
Читать дальше
Конец ознакомительного отрывка
Купить книгу