Владимир Арнольд - Теория катастроф

Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groups de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluicles parfaits // Ann. Inst. Fourier. — 1966. — V. 16, № 1. — P. 319 — 361.

Цитированные в тексте работы об оценках размерности аттракторов:

Ильятенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье — Стокса // Успехи мат. наук. — 1981. — Т. 36, вып. 3. — С. 243 — 244.

Ильяшенко Ю.С., Четаев А. H. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье — Стокса на двумерном торе // Успехи механики. — 1982. — Т. 5, вып. 1; 2. — С. 31 — 63.

Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы для эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных и оценки их размерности // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 4. — С. 133 — 187.

Теорема Богданова впервые была анонсирована в обзоре:

Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. — 1972. — 27, вып. 5. — С. 119 — 184.

Доказательства опубликованы в:

Богданов Р. И. Бифуркация предельного цикла в семействе векторных полей на плоскости // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1976. — Т. 2. — С. 23 — 35.

Богданов Р. И. Версальная деформация особенности векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1976. — Т. 2. — С. 87 — 65.

Случаи симметрии порядка 2, 8 или ≥5:

Мельников В. К. Качественное описание резонансных явлений в нелинейных системах. — Препринт / ОИЯФ. — Дубна, 1962. — Р. 1013. — С. 1 — 17.

Хорозов И. Е. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и 3 // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1979. — Т. 5. — С. 163 — 192.

Симметрия порядка 4:

Арнольд В. И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивариантных векторных полей // Функцион. анализ и его прил. — 1977. — Т. 11, вып. 2. — С. 1 — 10.

Нейштадт А. И. Бифуркации фазового портрета некоторых систем уравнений, возникающих в задаче о теории потери устойчивости вблизи резонанса 1:4// Прикл. математика и механика. — 1978. — Т. 42.- С. 830 — 840.

Березовская Ф. С., Xибник А. И. О бифуркациях сепаратрис в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1:4 // Прикл. математика и механика. — 1980. — Т. 44. — С. 938 — 943.

Затягивание потери устойчивости:

Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // ДАН СССР. — 1973. — Т. 209, № 3. — С. 576 — 579.

Нейштадт А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось // Успехи мат. наук.- 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 300 — 301.

Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, Н // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, вып. 12. — С. 2060 — 2067; 1988. — Т. 24, вып. 2. — С. 226 — 233.

Каскады удвоений:

Шапиро А. П. Математические модели конкуренции // Управление и информация.- Владивосток: Дальневосточ. науч. центр АН СССР, 1974. — Т. 10. — С. 5 -75.

Мау R. М. Biological populations obeying difference equations; stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. — P. 511 — 524.

Feigenbaum M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. — 1978. — V. 19, № 1. — P. 25 — 52.

Соllet P., Eсkman J. P. Iterated maps of the interval as dynamical system.- Boston: Birkhauser, 1980. — 248 p.

Бифуркации коразмерности два:

Жолондек Г. Версальность одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Мат. сб. — 1983. — № 120. — С. 473 — 499.

Zoladek H. Bifurcations of Certain Family of Planar Vector Fields Tangent to Axes // Journ. of Diff. Equa. — 1987. — V. 67, № 1. — P. 1 — 55.

Теорема конечности доказана в:

Левантовскпй Л. В. Особенности границы области устойчивости // Функцион. анализ и его прил. — 1982. — Т. 16, вып. 1. — С. 44 — 48.

Простейшие особенности описаны в:

Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. — 1972. — Т. 27, вып. 5. — С. 119 — 184.

Другой подход к теории перестроек волновых фронтов и каустик изложен в статье:

Wassermann D. Stability of unfoldings in space in time // Acta Math. — 1975. — V. 135. — P. 57 — 128.

Интересно отметить, что неудачный выбор точки зрения и постановки задачи привел автора этой статьи к сложным ответам в простейших случаях и скрыл от него управляющие более сложными случаями простые общие законы, описанные в цитируемых ниже работах. Изображения перестроек волновых фронтов в трехмерном пространстве впервые появились в:

Arnold V. I. Critical points of smooth functions // Proc. of the International Congress of Mathematicians, 1974. — Vancouver. — 1975. — V. 1. — P. 19 — 40.