Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

На сегодняшний день это, бесспорно, самая известная математическая проблема, продолжающая привлекать внимание лучших математиков – не только из-за того, что ее так долго не удается решить, но также потому, что она кажется соблазнительно доступной, а ее решение, вероятно, приведет к появлению новых перспективных методик.

О том, какое огромное значение имеет гипотеза Римана для науки, говорит тот факт, что она вошла в число семи “задач тысячелетия”, определенных Математическим институтом Клэя, – за решение каждой назначена премия в 1 000 000 долларов. Это одна из двух проблем, которые особенно хотелось бы решить Агниджо. Вторая – проблема равенства классов P и NP (мы обсуждали ее в пятой главе). Кроме того, гипотеза Римана – единственная “задача тысячелетия”, что также вошла и в составленный Давидом Гильбертом список из двадцати трех кардинальных проблем математики, представленный им на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года.

Чтобы понять принцип распределения простых чисел, Риман применил методику недавно появившегося раздела математики – комплексного анализа. Как явствует из названия, этот раздел изучает различные способы работы с комплексными числами – теми, что состоят из действительной и “мнимой” частей, например 5 – 3 i , где i – квадратный корень из –1. В основе комплексного анализа лежит изучение комплексных функций, то есть попросту правил, с помощью которых можно одно множество комплексных чисел преобразовать в другое. Еще в 1732 году великий швейцарский математик Леонард Эйлер, чье творчество поражает своим объемом и разносторонностью (его научное наследие насчитывает более 31 000 страниц), ввел в математическую науку доселе неизвестное понятие дзета-функции. Она представляет собой разновидность бесконечного ряда – бесконечной суммы элементов, которая, в зависимости от конкретных чисел, составляющих эти элементы, может сходиться или не сходиться к конечному значению. При определенных условиях дзета-функция сводится к ряду, похожему на гармонический (1 + S + ⅓ + j + …), который изучался математиками с античных времен, когда Пифагор и его ученики были одержимы идеей подчинить вселенную законам чисел и музыкальной гармонии. Риман распространил эйлеровскую дзета-функцию на комплексные числа – а потому сегодня она известна также как дзета-функция Римана.

В своей знаменитой статье 1859 года Риман предложил улучшенную, как он считал, формулу для оценки количества простых чисел вплоть до заданного числа. Однако для применения формулы нужно было знать, при каких значениях дзета-функция Римана равна нулю. Дзета-функция Римана определена для всех комплексных чисел вида x + iy , кроме случаев, когда x = 1. Функция равна нулю при всех отрицательных четных целых значениях (–2, –4, –6 и так далее), но для решения вопроса о распределении простых чисел они не представляют интереса, поэтому эти нули называют “тривиальными”. Риман понял, что функция также имеет бесконечное число нулей в критической полосе между x = 0 и x = 1 и что эти “нетривиальные” нули симметричны относительно прямой x = S. Его знаменитая гипотеза гласит, что все нетривиальные нули комплексной дзета-функции как раз находятся точно на этой прямой.

Если гипотеза Римана верна, из этого будет следовать, что в пределах, установленных теоремой о распределении простых чисел, те распределены максимально регулярно. Другими словами, допуская, что есть некая доля “шума” или “хаоса”, которая мешает точно предсказать, где появится следующее простое число, гипотеза Римана говорит нам, что шум этот очень четко регламентирован, что кажущаяся анархия в рядах простых чисел на деле тщательно срежиссирована. Можно для примера представить себе игральную кость со множеством граней, у которой вероятность выпадения простого числа составляет 1/log n . Предположим, что для каждого n , равного или большего 2, вы бросаете кость n раз. В идеале простое число должно выпасть n /log n раз. Но идеал, как известно, недостижим, поэтому в реальности всегда будет отклонение от ожидаемого значения – погрешность. Величина этой погрешности определяется правилом, которое называют законом больших чисел. В гипотезе Римана утверждается, что распределение простых чисел отклоняется от n /log n не больше, чем это следует из закона больших чисел.

Есть немало веских аргументов, свидетельствующих об истинности гипотезы Римана. Риман сам проверил несколько первых нетривиальных нулей на соответствие правилу, а Алан Тьюринг с помощью одного из первых компьютеров протестировал первую тысячу. В 1986 году было объявлено, что первые миллиард с половиной нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся точно на критической прямой, где действительная часть функции равна S. Гораздо раньше, еще в 1915 году, Годфри Харолд Харди доказал, что число нетривиальных нулей на этой прямой бесконечно (хотя и не факт, что все нетривиальные нули лежат именно на ней). В 1989 году американский математик Брайан Конри представил доказательство, что число нулей, лежащих на критической прямой, превышает две пятых от общего количества нулей в критической полосе. Шестью годами позже, после нескольких лет работы проекта распределенных вычислений ZetaGrid , было получено подтверждение того, что первые 100 миллиардов нулей дзета-функции Римана приходятся ровно на критическую прямую, без каких бы то ни было исключений.