Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

В 2009 г. (в котором было подготовлено первое издание этой книги) премию получила немецкий математик Катрин Брингман. Последняя на момент написания этого текста премия была присуждена украинскому математику Марине Вязовской, которая решает задачи в 8- и 24-мерном пространствах!

Вернемся, однако, к интересным числам, о которых мы говорили в предыдущей главе.

Однажды Харди навещал болевшего Рамануджана. Харди упомянул, что приехал в такси, на котором стоял номер 1729. «Какое необычайно скучное число!» – воскликнул Харди. «Ничего подобного! – пылко возразил Рамануджан. – На самом деле 1729 – число чрезвычайно интересное! Неужели вы не понимаете, что это самое малое число, которое можно выразить в виде суммы кубов двух положительных целых чисел двумя разными способами? Первый – 1 в кубе плюс 12 в кубе. Второй – сумма 10 в кубе и 9 в кубе». Вот как это можно записать:

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³.

Когда я рассказываю эту историю своим друзьям, их обычно поражает тот факт, что кто-то сумел моментально вычислить, что число 1729 можно представить в виде суммы двух кубических чисел. Меня же, честно говоря, поражает тот факт, что Рамануджан знал, что 1729 – наименьшее число, обладающее этим свойством. Откуда он мог это знать? Понятия не имею!

Разумеется, мы говорим здесь только о положительных числах. Если бы можно было использовать и отрицательные, мы могли бы найти величину, меньшую 1729. Например, 91 = 6³ + (–5)³ = 4³ + 3³.

Любое целое положительное число было одним из личных друзей Рамануджана.

Я хотел бы отметить, что у числа 1729 есть еще несколько интересных свойств. Больше всего мне нравится то из них, которое обнаружил японский математик и писатель Масахико Фудзивара (р. 1943) {11} 11 Фудзивара весьма известен в Японии своими популярными книгами по математике. Одна из этих книг посвящена красоте теорем, которые он делит на красивые и уродливые. . Он показал, что 1729 – одно из всего лишь трех чисел, обладающих следующим свойством: сумма его цифр, умноженная на число, симметричное этой сумме, дает исходное число.

1 + 7 + 2 + 9 = 19.

19 × 91 = 1729.

Найдите другие два числа (этим свойством также обладает число 1, но этот ответ слишком очевиден и потому не считается). Подсказка: одно из этих чисел двузначное, и его не слишком трудно найти. Второе число четырехзначное {12} 12 Первое число – 81. Второе… барабанная дробь! – 1458. Удалось ли вам его найти? .

Индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар родился в 1905 г. Он закончил Мумбайский университет [14] В то время Бомбейский. и посвятил себя преподавательской работе. Он проработал школьным учителем несколько десятилетий, но так никогда и не изучал высшую математику. Он внес вклад в развитие нескольких разных областей – в том числе магических квадратов, периодических десятичных дробей и целых чисел с особыми свойствами. Он открыл несколько замечательных свойств чисел, но при жизни так и не получил признания. Лишь совсем недавно его вклад в теорию чисел был оценен по достоинству: в знак запоздалого признания его именем была названа постоянная.

В 1949 г. Капрекар установил, что число 6174 можно считать пределом последовательности следующих операций. Возьмем любое четырехзначное число, не все цифры которого одинаковы. Переставим его цифры так, чтобы получить наименьшее и наибольшее из возможных чисел. Вычтем меньшее число из большего. Если их разность равна 6174, процесс завершен. Если нет, повторим те же действия. В конце концов всегда получается 6174.

Попробуем проделать это с номером года, в котором я начал писать эту книгу, – 2009. Наибольшее число, которое можно образовать из этих четырех цифр, – 9200, а наименьшее – 0029. Вычтем 29 из 9200 и получим 9171.

Повторим эту процедуру: 9711 – 1179 = 8532.

Продолжим: 8532 – 2358 = 6174. Наши поиски завершены: в конце пути нас с самого начала поджидало число 6174.

На математическом языке 6174 называется «неподвижной точкой», что означает следующее: если мы подставим в этот процесс само это число, мы снова вернемся к нему же. Проверим: 7641 – 1467 = 6174. Действительно, дальше дороги нет; путешествие подошло к концу.

А что, если немного схитрить? Получится ли этот же фокус с числом, в котором есть три одинаковые цифры? Скажем, с числом 1112? Давайте попробуем.