Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Следующее равенство, на мой взгляд, – самая странная из формул Рамануджана:

1 + 2 + 3 + 4 + ··· = –1/12.

Что???

Она кажется совершенно неверной! Бесконечная сумма, которая стоит в левой части, должна быть равна бесконечности; из нее никак не может получиться отрицательного числа! Но, можете быть уверены, Рамануджан понимал, что он делает, и эта запись отнюдь не бессмысленна: он работал с очень важной дзета-функцией Римана – Эйлера (это функция комплексного переменного, рассмотрение которой выходит за рамки этой книги). Рамануджан писал в письме к Харди: «Согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12. Если я скажу Вам об этом, Вы сразу же ответите, что мне прямая дорога в сумасшедший дом».

Несмотря на всю строгость Харди в вопросах, касавшихся математики (во всем остальном он пользовался репутацией человека исключительно мягкосердечного), он не мог устоять перед очарованием прекрасных уравнений индийского гения.

Формулы Рамануджана должны быть верными, потому что, если бы они не были верными, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать.

Харди показал работы Рамануджана одному из своих коллег, с которым он часто работал вместе, Джону Литлвуду (мы уже встречались с ним раньше, когда говорили о парадоксе с теннисными мячами). Литлвуд тоже был поражен явной гениальностью Рамануджана. Он говорил, что не знает математиков, которых можно было бы сравнить с Рамануджаном: он превосходил всех их.

Чтобы проиллюстрировать, до какой степени Харди и Литлвуд с течением времени стали считаться лидерами современных математических исследований в Англии, я могу сообщить, что один из моих превосходных коллег сказал однажды в шутку: «В наше время есть всего три по-настоящему великих английских математика: Харди, Литлвуд и Харди – Литлвуд» {10} 10 Математик Харальд Бор был братом великого датского физика Нильса Бора. Кроме того, он играл в футбольной сборной Дании, завоевал в ее составе серебряную медаль Олимпийских игр 1908 г. Эта цитата позаимствована из его лекции «Оглядываясь назад» (Et tilbageblik // Mat. Tidsskr. A (1947). P. 1–27). .

Харди был просто замечательным математиком. Но когда Пал Эрдёш (которого мы тоже уже встречали) спросил Харди, что, по его мнению, было его величайшим вкладом в математику, Харди ответил: «Открытие Рамануджана».

К этому я добавлю только одно: у Харди была привычка классифицировать математиков по шкале от 0 до 100. Самому себе он поставил 25, своему коллеге Литлвуду – 30, а великому немецкому математику Давиду Гильберту (в честь которого названа целая область математики – «гильбертовы пространства») – 85. Рамануджану он поставил высочайшую оценку из возможных – ровно 100!

Одна из моих любимых книг – «Апология математика» Харди. Он рассуждает в ней об эстетике математики и дает нам редкую возможность увидеть изнутри методы мышления тех, кто занимается этой наукой. Харди любил чистую (теоретическую) математику и как-то хвастался даже, что ничто из того, что он сделал, не имеет практического применения. В этом, однако, он сильно ошибался. Например, всякому, кто хоть немного занимался популяционной генетикой, знаком закон Харди – Вайнберга. Кроме того, Харди считал, что не имеет практического значения и теория чисел, которую он страстно любил. Сегодня теория чисел тесно связана с шифрами и кодами. Харди думал даже, что у теории относительности тоже не может быть никакого практического применения. Действительно, очень трудно – может быть, даже невозможно – предсказать, какие из математических открытий окажутся практически полезными, а какие послужат «только лишь» для поддержания славы человеческого разума, очень трудно – может быть, даже невозможно.

В своей книге Харди описывает самым увлекательным образом, что́ в математике он находит прекрасным, а что́ – нет. Впоследствии мы еще поговорим об этом.

Со здоровьем у Рамануджана дела обстояли далеко не так блестяще, как с математикой. В 1920 г., вскоре после возвращения в Индию, он умер в возрасте всего 32 лет.

Начиная с 2005 г. за открытия, сделанные на основе его работ, ежегодно присуждается премия имени Рамануджана, учрежденная университетом SASTRA [13] Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy – университет, расположенный близ индийского города Кумбаконама, родины Рамануджана. . Ее могут получить только математики не старше 32 лет – того возраста, в котором сам Рамануджан расстался не только с жизнью, но и с числами, которые он так любил.