Александр Берлин - Математика рынка. Обслуживание случайных потоков

Для количественной оценки качества обслуживания с явными потерями рассчитываются следующие величины:

потери по числу поступивших заявок на поставку товара – Р заяв. ;

потери по объему товара – Р тов. ;

потери по времени реализации – P t .

Потери по числу поступивших заявок на поставку товарa на отрезке времени [ t 1, t 2) – это отношение числа потерянных (не обслуженных) за этот период ( t 1, t 2) заявок к числу поступивших за то же время заявок.

P заяв(t 1. t 2) =С пот(t 1,t 2) /C (t 1,t 2)

Потери по объему товара на отрезке времени [ t 1, t 2) —это отношение потерянного (не проданного) количества за этот отрезок времени товара a n ( t 1, t 2) к поступающей количеству за то же время a ( t 1, t 2).

P тов(t 1. t 2) =a пот(t 1,t 2) /a (t 1, t2)

Потери по времени за отрезок времени [ t 1, t 2) —это доля времени, в течение которого все группы потребления, доступные группе производителей, заняты потреблением.

Если в выражения для потери по числу поступивших заявок на поставку товара, потери объем товара и потери по времени подставить математические ожидания соответствующих случайных величин, то можно говорить о вероятности потерь по этим величинам.

Дисциплиной обслуживания с ожиданием (условными потерями) называется такая дисциплина, при которой поступающий товар в момент отсутствия свободных групп потребителей не теряется, а поступает на хранение. (дисциплина обслуживания с ожиданием).

Для количественной оценки качества обслуживания с ожиданием рассчитываются следующие характеристики:

– вероятность того, что время ожидания больше нуля – то есть вероятность очереди – р (γ> 0);

– вероятность ожидания для любого поступившего товара свыше времени t – р (γ> t ); вероятность ожидания задержанного товара

свыше времени t – p з(γ> t );

– среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам – γ»

– среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам – γ' задер

– вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r – p (R> r);

– средняя длина очереди – ́r.

Основными характеристиками являются р (γ> 0) и p (γ> t).

Одной из важнейших свойств рынка является его эффективность.

В качестве показателей эффективности рынка наряду с экономическими (ценами, себестоимостью товара и т. д) можно использовать такую характеристику, как пропускную способность рынка.

Под пропускной способностью рынка понимается величина интенсивности обслуженного предложения (проданного товара за определенный промежуток времени) при определенной величине потерь (не проданного товара).

Пропускная способность рынка зависит от величины потерь, которые удовлетворяют участников рынка, числа групп потребителей, распределения длительности потребления и дисциплины обслуживания (явные потери или с ожиданием), от типа входного потока..

Величина потерь, которая характеризует состояние рынка, различна для различных категорий товаров.

Очевидно, что чем больше допустимая норма потерь, тем больше пропускная способность рынка и тем хуже качество обслуживания производителей, т.е. он может принять от производителей большую величину товара и большую часть терять или задерживать на хранении свыше заданного времени.

Поток поступления товаров (предложение) в математических моделях чаще всего принимается простейшим, потоком Пальма или примитивным. В этих случаях удается относительно просто получить решение задачи аналитическим методом.

Реальные потоки товаров имеют более сложную структуру, и решение задач осуществляется обычно по данным полученным для простейшего потока в виде граничных оценок показателей (лучше простейшего потока или хуже).

Наиболее удобной функцией распределения длительности обслуживания с точки зрения аналитического описания и анализа пропускной рынка является показательное распределение, так как оно не обладает последействием.

Практическое применение находят применяемые вероятностные распределения – распределение плотности, распределение Эрланга и др.

Дисциплина обслуживания оказывает существенное влияние на математическую модель коммутационной системы, поэтому ее необходимо описывать самым детальным образом. Например, в системе с ожиданием накопленный товар может возвращаться со склада на рынок;