Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Бывает, что использование экстремумов для решения задачи противоречит здравому смыслу. Например, когда возникает вопрос, что лучше, бежать под дождем, чтобы добраться из точки А в точку В, или двигаться медленно, мы вспоминаем, что при быстрой езде на автомобиле под дождем ветровое стекло заливает водой, а при более медленном движении потоки воды не такие сильные. Так что лучше, бежать во время дождя или нет? Анализ экстремальных ситуаций показывает, что очень медленное движение увеличивает время, которое мы находимся под дождем, а экстремально медленное движение, скажем, с нулевой скоростью, приведет к тому, что вы промокнете до нитки. Таким образом, чем быстрее мы будем двигаться, тем меньше намокнем. Вот так экстремумы помогают решать задачи.

Рассмотрим задачу, где стратегия анализа экстремумов помогает найти решение.

В 40 почтовых ящиков в местном почтовом отделении каждое утро кладут письма. Однажды почтальон разложил по этим ящикам 121 письмо. Закончив работу, он обнаружил, что в одном ящике больше писем, чем в любом другом. Какое наименьшее количество писем может находиться в этом ящике?

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее количество писем в ящике, мы можем рассмотреть следующую экстремальную ситуацию. Распределим письма равномерно. Предположим, что во всех ящиках находится одинаковое количество писем. Это экстремальная ситуация, противоположностью которой является ситуация, когда все письма лежат в одном ящике. При равномерном распределении в каждый ящик попадает 3 письма — 120: 40 = 3. Добавление дополнительного письма в один из ящиков доведет количество писем в нем до 4 — это и будет наибольшее число. Таким образом, наименьшее количество писем в почтовом ящике, которое превышает количество писем в любом другом ящике, равно 4.

Чтобы попрактиковаться в применении этого метода, рассмотрим еще одну задачу, на этот раз со статистическим уклоном:

Кларисса написала 5 целых чисел. Как оказалось, их мода равна 12, а медианное значение — 14. Среднее арифметическое (или просто среднее) этих чисел равно 16. Одно из чисел больше медианного значения на 5. Какие именно числа написала Кларисса?

Воспользуемся стратегией анализа экстремальной ситуации. Поскольку мода равна 12, наихудший сценарий (наименьшее значение) — это два раза по 12. Мы знаем также, что медиана, или среднее значение равно 14. Так как одно число больше медианы на 5, оно составляет 14 + 5, или 19. Итак, нам известны следующие числа:

12, 12, 14, 19.

Среднее находится путем сложения всех пяти чисел и деления суммы на 5. Поскольку среднее равно 16, то сумма всех чисел составляет 16 × 5 = 80. Найдем сумму уже известных чисел 12 + 12 + 14 + 19 = 57. Недостающее число должно быть равным 80–57 = 23. Таким образом, Кларисса написала следующие числа: 12, 12, 14, 19, 23. Обратите внимание, насколько важно было начать решение с анализа экстремальной ситуации, который позволил определить, что числовой ряд включает в себя два числа 12.

При применении данной стратегии следует, однако, соблюдать осторожность. Анализируя экстремальную ситуацию, следите за тем, чтобы не изменить переменную, которая влияет на другие переменные, а также не изменить сам характер задачи. Задачи, представленные в этой главе, помогают понять, в каких ситуациях можно использовать рассматриваемую стратегию.

Автомобиль едет по шоссе с постоянной скоростью 55 км/ч. Водитель замечает другой автомобиль на расстоянии позади. Второй автомобиль обгоняет первый 1 минуту спустя. С какой скоростью двигался второй автомобиль, если считать, что она была постоянной?

Традиционное решение заключается в составлении таблицы «скорость × время = расстояние», как рекомендуют многие учебные пособия. Это делается следующим образом:

Второй автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч.

В качестве альтернативы используем стратегию анализа экстремумов. Предположим, что первый автомобиль движется чрезвычайно медленно, т. е. со скоростью 0 км/ч. В этом случае второй автомобиль проедет за одну минуту и догонит первый автомобиль. Таким образом, второй автомобиль должен двигаться со скоростью 30 км/ч. Первый автомобиль движется со скоростью 0 км/ч, а второй автомобиль — на 30 км/ч быстрее, чем первый. Если первый автомобиль будет иметь скорость 55 км/ч, то второй — 85 км/ч.