Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Здесь мы обратимся к идее, привносящей в решение определенное изящество, и предоставим читателю возможность самому разобраться, почему это так, а не иначе. Существует теорема, известная под названием «теорема макнаггетсов». В соответствии с ней, если McDonald's продает макнаггетсы в коробках по a или b штук, где a и b не имеют общих множителей, то наибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, равно ab — ( a + b ). Например, если они продаются в коробках по 8 и 5 штук, то наибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, составляет 8 × 5 — (8 + 5) = 40–13 = 27.

В нашей задаче, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 3 × 7 — (3 + 7), или 21–10 = 11.

Упростите каждое из следующих выражений:

Хотя есть соблазн взять калькулятор и вычислить значение этих выражений, нередко наши надежды не оправдываются, и мы получаем на табло лишь сообщение error.

Подойдем к решению этой задачи с другой точки зрения. Учитывая, что число 3 возводить в степень довольно просто, решим задачу следующим образом:

Второе выражение можно упростить, разбив числа на простые множители следующим образом:

И у Вольфганга, и у Людвига есть целое число евро, причем каждое из них меньше 100. Когда они посчитали свои деньги, оказалось, что три четверти суммы Вольфганга равны двум третям суммы Людвига. Какое максимальное число евро может быть у каждого из них?

Первая реакция — применить алгебраический подход. Мы можем составить одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть W представляет количество евро у Вольфганга, а L — количество евро у Людвига. Наше уравнение имеет следующий вид:

Умножим обе части уравнения на 12 и получим: 9 W = 8 L . Решение уравнения для W дает следующий результат:

Поскольку у каждого из мальчиков по целому числу евро, сумма Людвига должна быть кратной 9, т. е. 9, 18, 27, 36, …, 99. Теперь можно подставить каждое из этих чисел в уравнение и определить количество евро у Людвига. Наибольшее количество евро, которое может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро (менее, чем 100). Мы знаем, что суммы Людвига (66 евро) равны суммы Вольфганга. Таким образом, сумма Вольфганга составляет или 88 евро, а сумма Людвига — 99 евро.

Воспользуемся арифметическим подходом и взглянем на задачу с другой точки зрения. Поскольку суммы Вольфганга равны суммы Людвига, найдем эквивалентные дроби с одинаковым числителем:

Если у Вольфганга 8 евро, а у Людвига 9 евро, то части их сумм становятся одинаковыми и равными 6 евро. Поэтому ответ должен быть равен произведению одного и того же множителя на 8 и 9. Таким образом, наибольшая сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро, а наибольшая сумма Вольфганга — 11 × 8, или 88 евро.

Ответ можно проверить, определив величину от 88 евро (66) и от 99 евро (66).

На рис. 4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK = 8, а длина AE разделена на четыре части AB = 1, BC = 6, CD = 4 и DE = 2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?