Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Какое из следующих двух выражений больше, √5 + √8 или √4 + √10

Учитывая нынешнее распространение калькуляторов, не удивительно, что люди обычно извлекают квадратный корень из каждого числа, затем определяют их суммы и получают требуемый ответ. Хотя такой подход довольно эффективен, его, конечно, не назовешь изящным.

Взглянем на задачу с другой точки зрения, а именно возведем в квадрат каждую из этих сумм и посмотрим, каким будет результат.

Упростив, таким образом, условия, мы видим, что сумма является большей из двух величин.

Чему равны все положительные целочисленные значения переменной n , для которой дробь также является целым числом?

Первой реакцией на эту задачу является попытка подставить разные значения n и посмотреть, какой результат будет целым числом. Например, если принять n = 4, мы получим т. е. целое число. Хотя такой подход и позволяет выявить некоторые значения n , очень трудно сказать, все ли значения найдены. В результате обычно получается неполный ответ.

Воспользуемся стратегией принятия другой точки зрения. Для начала выполним деление:

Чтобы эта величина была целым числом, n — 3 должно быть пропорционально 36. Делителями для числа 36 являются 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36. Таким образом:

Значения n , при которых является целым числом, равны 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 21 и 39.

Каждый из 10 придворных ювелиров дает королевскому советнику г-ну Саксу стопку золотых монет. В каждой стопке находится 10 монет. Полноценные монеты весят 1 унцию. Однако в одной из стопок находятся «неполновесные» монеты, каждая из которых весит на 0,1 унции меньше. Г-н Сакс хочет выявить ювелира-жулика и стопку неполновесных монет с помощью всего лишь одного взвешивания. Как это сделать?

Традиционная процедура начинается со случайного выбора стопки и ее взвешивания. Такой метод проб и ошибок дает искомый результат всего в 1 случае из 10. Учитывая это, можно попытаться решить задачу путем логического рассуждения. Прежде всего, если все монеты полновесные, их общий вес должен составлять 10 × 10 = 100 унций. Каждая из 10 неполновесных монет имеет меньший вес, поэтому недостача должна составить 10 × 0,1 = 1 унцию. Однако подход с точки зрения общей недостачи ничего не дает, поскольку она может оказаться в любой из стопок — в первой, второй, третьей и т. д.

Попробуем решить задачу, организовав данные иначе. Нам необходимо найти такой метод обнаружения недостачи, позволяющий идентифицировать стопку, из которой взяты неполновесные монеты. Присвоим стопкам номера № 1, № 2, № 3, № 4, …, № 9, № 10. Затем возьмем одну монету из стопки № 1, две монеты из стопки № 2, три монеты из стопки № 3, четыре монеты из стопки № 4 и т. д. Всего у нас получилось 1 + 2 + 3 + 4 + … + 8 + 9 + 10 = 55 монет. Если все монеты полновесные, то их общий вес должен составить 55 унций. Если обнаружится недостача 0,5 унции, значит в навеске присутствуют 5 неполновесных монет из стопки № 5. Если обнаружится недостача 0,7 унции, значит в навеске присутствуют 7 неполновесных монет из стопки № 7 и т. д. Таким образом, г-н Сакс может легко определить стопку неполновесных монет и ювелира, который принес эти монеты.

Ресторан быстрого питания продает куриные наггетсы в коробках по 7 штук и по 3 штуки. Какое наибольшее количество наггетсов нельзя купить?

Мы просто пытаемся найти ответ путем перебора сочетаний 7 и 3 до тех пор, пока не дойдем до точки, начиная с которой можно купить любое количество наггетсов.

По всей видимости, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 11. После этого все, что нужно, это добавлять 3 или 7.