Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Очевидный подход — найти площадь каждого из четырех треугольников и сложить их. Во всех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK = 8. Таким образом, площади четырех треугольников составляет:

Сумма этих площадей равна 4 + 24 + 16 + 8 = 52.

Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки зрения на решение задачи. Треугольники имеют одну и ту же высоту, а именно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна половине площади прямоугольника, или

Определите, сколько чисел можно составить из цифр от 1 до 9 при условии, что цифры в этих числах должны располагаться в порядке возрастания.

Большинство людей, скорее всего, воспользуются методом проб и ошибок и попытаются выяснить, нет ли здесь какой закономерности, и будут добавлять в список одно число за другим, т. е. сначала однозначные числа, затем двухзначные, трехзначные и т. д. Если выполнить эту работу тщательно, то можно получить правильный ответ, однако такой подход трудоемок.

Рассмотрим сначала набор целых чисел, имеющихся в нашем распоряжении {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Каждое подмножество этих цифр, за исключением пустого, должно давать одно из искомых чисел. Например, подмножество {3, 5, 7, 9} дает число 3579. Вопрос в том, сколько таких подмножеств можно выделить в нашем ряду из девяти цифр. Их количество равно 2 9= 512. Вместе с тем сюда вошло пустое подмножество, которое необходимо вычесть. Таким образом, мы получаем 2 9— 1 = 511 подмножеств из 9 цифр, каждое из которых дает число, где в соответствии с условием задачи, цифры могут располагаться в порядке возрастания.

На рис. 4.4 показан равнобедренный треугольник с бесконечным рядом окружностей, каждая из которых касается двух равных сторон треугольника и соседних окружностей, а нижняя окружность касается основания треугольника. Стороны равнобедренного треугольника равны 13, 13 и 10. Чему равна сумма длин этих окружностей?

Занудный по определению подход предполагает вычисление длины каждой окружности с последующим определением суммы их длин. Подсчеты в этом случае очень трудоемки, но при тщательном выполнении они могут дать правильный ответ.

Воспользуемся стратегией рассмотрения задачи с другой точки зрения. С помощью теоремы Пифагора находим, что высота равнобедренного треугольника равна 12. Заметим, что сумма диаметров бесконечного числа окружностей равна высоте равнобедренного треугольника. Таким образом, сумма длин окружностей равна сумме диаметров, умноженной на π , т. е. 12 π .

Чему равен наименьший неотрицательный остаток при делении 22 7на 123?

Как правило, при решении этой задачи люди тратят кучу времени на определение значения числа 22 7, а потом делят результат на 123.

Мы подойдем к решению задачи с другой точки зрения. Вместо развертывания 22 7в число без степени разложим его на числа в степени:

22 7= (2 7) (11 7) = (2 7) (11 2) (11 2) (11 2) (11) = (123 + 5) (123–2) (123–2) (123–2) (11).

Теперь вспомним, что произведение двух двучленов вида 123 + s и 123 + t можно представить как 123 k + st :

(123 + s ) (123 + t ) = 123 2+ 123 s + 123 t + st = 123 (123 + s + t ) + st = 123 k + st .

Таким образом, мы получаем:

123 n — 440 = 123 n − 492 + 52 = 123 ( n − 4) + 52.

При делении числа 22 7на 123 остаток равен 52.

Во время футбольного матча команды получают 2 очка за сейфти, 3 очка за гол в ворота и 7 очков за тачдаун. Если отбросить 2 очка за сейфти, то команды смогут получать лишь по 3 и по 7 очков. Каково максимальное значение счета, которое нельзя получить в этом матче?