Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Можно просто попытаться угадать, подставляя различные цифры в надежде, что среди них окажутся искомые. Это крайне маловероятно, хотя и возможно.

Вместо догадок воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Наименьшее возможное число равно 1 200 006, а наибольшее — 1 299 996. Поскольку нам нужен ответ, представляющий собой произведение трех последовательных чисел, проанализируем кубические корни из этих экстремумов, чтобы определить примерную величину этих трех чисел.

Кубический корень из 1 200 006 равен примерно 106, а из 1 299 996 — примерно 109. Это значительно ограничивает простор для выбора. Кроме того, в заданном числе в разряде единиц стоит 6. Значит, три искомые последовательные числа должны оканчиваться либо на 1, 2 и 3, либо на 6, 7 и 8, поскольку их произведения дают 6 в разряде единиц. Имея две такие подсказки, не сложно определить, что искомыми числами будут 106, 107 и 108. Их произведение равно 1 224 936. Задача решена.

На рис. 5.3 представлен прямоугольник ABCD со сторонами длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь закрашенной области прямоугольника.

Обычно на задачу смотрят с другой точки зрения и вместо определения площади закрашенной области, найти которую требуется по условиям, определяют площадь незакрашенной области и вычитают ее из площади прямоугольника. Незакрашенный треугольник с основанием AB = 12 см и высотой BC = 8 см, имеет площадь Площадь прямоугольника — это 12 × 8 = 96 см 2. Таким образом, площадь закрашенной области равна 96–48 = 48 см 2.

Другой подход с использованием той же стратегии выглядит следующим образом. Поскольку точное положение точки E не определено, рассмотрим экстремальный случай, когда точка E совпадает с точкой C , как показано на рис. 5.4.

AC — диагональ прямоугольника, которая делит его пополам. Таким образом, закрашенная область занимает точно половину площади прямоугольника, и ее площадь равна 48 см 2.

Следует заметить, что тот же прием можно использовать и при замене прямоугольника ABCD на параллелограмм. В первый момент такая задача может показаться сложной, однако она решается аналогичным образом.

В офисе директора средней школы им. Джорджа Вашингтона висят 50 почтовых ящиков для учителей. Однажды почтальон принес 151 письмо для учителей. Какое наибольшее число писем может гарантированно получит каждый из учителей?

Нередко человек, столкнувшись с задачей такого рода, действует наугад и не знает с чего начать. Иногда результат приносит метод проб и ошибок, но убедительного решения он точно не дает.

Для решения задач такого рода рекомендуется применять анализ экстремумов. Понятно, что один учитель может получить все письма, однако это не гарантировано . Более реальную оценку ситуации дает экстремальная ситуация, когда письма распределяются предельно равномерно. В этом случае каждый учитель получит по 3 письма за исключением одного, которому попадет еще 151-е письмо. Таким образом, четыре письма — это наибольшее из того, что один учитель может гарантированно получить.

Точка M лежит на середине стороны AB Δ ABC . Точка P может находиться в любом месте на отрезке AM (рис. 5.5). Линия, проведенная через точку M параллельно PC , пересекается с BC в точке D . Какую часть площади Δ ABC составляет площадь Δ BDP ?

Площадь Δ BMC равна половине площади Δ ABC (в силу того, что медиана делит треугольник на две равные части). Площадь Δ BMC = площадь Δ BMD + площадь Δ CMD = площадь Δ BMD + площадь Δ MPD , которая равна площади площади Δ ABC . Это следует из того, что треугольники, вершины которых лежат на линии, параллельной общему основанию, имеют равные площади.