Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

10.42.Чтобы упростить это неравенство, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, больше или меньше единицы основание логарифма. Однако правильное использование условия позволяет исключить случай

0 < ( x − 1)² < 1.

10.43.Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что первый сомножитель положителен. Следовательно, и второй сомножитель тоже должен быть больше нуля.

10.44.Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям 2 и 3.

10.45.Поскольку неизвестно, как расположено выражение, стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется рассмотреть два случая: 0 < x ² − 1 < 1 и x ² − 1 > 1. (!)

10.46.Поскольку мы ищем как решения, при которых основание положительно, так и решения, при которых оно отрицательно, удобно начать с определения тех интервалов изменения x , где основание сохраняет свой знак.

10.47.Если у ≠ 0 фиксировано, то данное неравенство является обычным квадратным неравенством относительно x . Остается записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет решение.

10.48.Прежде чем приступить к «техническому» решению задачи, ответьте на вопрос, следует ли из неравенства 3 < 2, например, теорема синусов?

10.49.Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x < а . Поэтому оно равносильно системе

10.50.Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51.Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52.Обратите внимание, что числа √5 + 2 и √5 − 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53.Обозначив log 2 x = у , можно привести неравенство к виду

1 + у ² ≤ | у | (4 x − x ² − 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

11.1.С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2.Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3.Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4.Обозначить 3 −| x − 2|= у и исследовать квадратное уравнение.

11.5.Обозначить 12 | x |= у . При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6.Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7.Использовать тот факт, что числа 2 + √3 и 2 − √З взаимно обратные

11.8.Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2 x .

11.9.Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, −1. (!)

11.10.Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11.С помощью формулы log ab = log a kb k можно добиться того, что в уравнение будут входить только log x 7 и log 7 x .

11.12.Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log 3 x . (!)

11.13.Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = log x 3. (!)

11.14.Так как 2 log x 2 = log x 4, то после умножения обеих частей уравнения на log 4 x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15.Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x . Равносильное ли получится уравнение?

11.16.В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17.При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.