Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.4.Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5.Если записать 1/ tg x вместо ctg x , то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6.Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3 x . Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3 x .

13.7.Нетрудно заметить, что множитель sin ( x + π/ 4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8.Перенести tg 2 x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9.Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2π, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10.Перенести sin α в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.

13.11.Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x , которые попадают в указанный интервал.

13.12.Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec² x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x .

13.13.Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.

13.14.Выразить sin 4 x через tg 2 x . Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.

13.15.Перейти к функциям sin x и cos x .

13.16.Правую часть уравнения можно сократить на cos 2 x , добавив условие cos 2 x ≠ 0.

13.17.С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg x / 2. Равносильное ли получится уравнение?

13.18.Понизить степень.

13.19.Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.20.Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x . (!)

13.21.Выразить sin 4 x через sin x и cos x и вынести sin x за скобки после переноса в левую часть.

13.22.Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)

13.23.Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)

13.24.Выразить cos 4 x + 1 через cos 2 x .

13.25.Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

13.26.Представить единицу в виде sin² x + cos² x .

13.27.Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos 4 x ≥ 0; следовательно, и cos 3 x ≥ 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.

13.28.Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.

13.29.Второе уравнение легко свести к виду sin (2 x − у ) = 0, откуда у = 2 x − π k . При подстановке в первое уравнение получим

4 tg 3 x = 3 tg 4 x .

Это уравнение удобнее преобразовать к виду

4(tg 4 x − tg 3 x ) = tg 4 x ,

чем к виду

3(tg 4 x − tg 3 x ) = tg 3 x ,

так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.

13.30.Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2 у = π/ 2− x + k π. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.