Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

32. Это была известная «теория тинов», разработанная Расселом еще до публикации «Principia Mathematica». О теории типов см. книгу С. К. Клини, указанную в примечании 15.

33. Следует вместе с тем заметить, что труд А. Н. Уайтхеда и Б. Рассела (A. N. Whitehead, B. Russell. Principia Mathematica. Vol. I, 1910; vol. II, 1912; vol, III, 1913, Cambridge, Engl.) явился важной: вехой в развитии математической логики и оснований математики. От него в знаяительной мере отправляются последующие работы в этой области, в частности исследования К. Гёделя (см. ниже).

1. Развертывание своей философско-матемагической платформы Брауэр начал со статьи «Недостоверность логических принципов», опубликованной в 1908 г. на голландском языке. Хорошее представление о взглядах Браузра дает кн.: Г. Веиль. О философии математики. М.-Л. 1934.

2. «Всякая наука. - считал Р. Декарт, заключается в достоверном и очевидном познании, которое есть деятельность интеллекта. Возможны только два действия интеллекта, «посредством которых мы можем придти к познанию вещей, не боясь никаких ошибок, это интуиция и дедукция, «поэтому из всех наук только математика чиста «от всего ложного и недостоверного»,; опытное же познание «часто вводит вас в заблуждение» (Р. Декарт. Набранные произведения. [М.]» 1950, с. 81—86). О параллелях между взглядами Декарта и философскими установками Брауэра см. ниже.

3. Что обе они не могут -выполняться— это гарантируется законом противоречия. Этот закон Брауэр не ставил под сомнение.

4. Но позиция Брауэра позволяет заключать от отвержения альтернативы α, например, путем приведения ее к абсурду, к верности высказывания ~α (этот способ рассуждения признает и конструктивизм, генетически связанный с брауэровской критикой классической математики и логики).

5. Цитируется по кн.: E.W. Beth. The Foundations of Mathematics. A Study in the Philosophy of Science. Amsterdam, 1965. p. 618—619.

6. Р. Декарт. Избранные произведения, с. 86.

7. См., например: Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. [М.], 1959.

8. А. А. Марков. Комментарии.—В кн.: А. Рейтинг. Интуиционизм. Введение. М., 1965, с. 162.

9. При интуиционистской — не связанной с понятием алгоритма — трактовке конструктивности.

10. Мы набросали лишь идею доказательства. Точную формулировку теоремы и полное ее доказательство можно найти, скажем, в кн.:

Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. I. М.. 1960, с. 105—106.

11. См. Д. Гильберт. Основания геометрии. М.— Л., 1948.

12. И вступил по этому поводу в полемику с Гильбертом (переписка Фреге и Гильберта по данному вопросу опубликована в «Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften.». Jahrgang 1940, 6. Abhandlung, Heidelberg, 1940; 1941, 2. Abhandlung, Heidelberg, 1941).

13. Гильберт говорит: «с применением метода идеальных элементов связано одно условие, одно единственное, но необходимое, это доказательство непротиворечивости. Именно, расширение посредством пуюбщения идеальных элементов дозволено только в том случае, когда при этом в старой, более узкой области не-возникает никаких противоречий, то есть если соотношения, которые выявляются для старых образов при исключении идеальных образов, всегда остаются справедливыми в этой старой области» (Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 376).

14. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 350.

15. См.: Проблемы Гильберта. М., 1969, с. 22.

16. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 351.

17. Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 381—382. Под «реальными высказываниями» Гильберт имеет в виду высказывания, не содержащие «идеальных элементов».

18. Обращаем внимание на различие между доказательством теорем в формальной системе и доказательством теорем о самой формальной системе. Доказательства последнего рода называются метадоказательствами, а теоремы, в них доказываемые, метатеоремами. Что доказательства в формальной системе финитны — это очевидно, так как они представляют собой знаковые конструкции, то есть материальные объекты. Задача Гильберта состояла в том, чтобы придать финитный характер метадоказательствам.