Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

Чтобы получить полную энергию, нужно эту плотность проинтегрировать по всему пространству. Используя элемент объема 4pr 2/dr, найдем полную энергию, которую мы обозначим через U эл :

Это выражение интегрируется очень просто. Нижний предел интегрирования равен а, а верхний — бесконечности, поэтому

(28.1)

Если вместо q подставить заряд электрона q e и обозначить сим­волом e 2 комбинацию q e 2/4pe 0, то получим

(28.2)

Все идет хорошо до тех пор, пока мы не переходим к точечному заряду, т. е. пока мы не положим а = 0. Но как только мы пере­ходим к точечному заряду, начинаются все наши беды. И все потому, что энергия поля изменяется обратно пропорционально четвертой степени расстояния, интеграл по объему становится расходящимся, а количество энергии, окружающей точечный заряд, оказывается бесконечным.

Но чем, собственно, плоха бесконечная энергия? Есть ли какая-то реальная трудность в том, что энергия никуда не может уйти от заряда и обречена навсегда оставаться около него? Досадно, конечно, что величина оказалась бесконечной, но главный вопрос в том — есть ли здесь какой-нибудь наблюдаемый физический эффект? Чтобы ответить на него, нужно обратиться не к энергии, а к чему-то другому. Нас может, ска­жем, заинтересовать, как изменяется энергия, когда заряд движется. Если при этом окажется бесконечным изменение, то дело совсем плохо.

§ 2. Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке Р, нахо­дящейся на расстоянии r от центра заряда и под углом 6 к ли­нии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно vXE/c 2. Плотность же им­пульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

Поле симметрично относительно линии движения заряда, по­этому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v.

Фиг. 28.1. Поля Е и В и плотность импульса g для положительного электрона.

Для отрицательного электрона поля Е и В повернуты в обратную сторону, но g остается тем же.

Фиг. 28.2. Элемент объема 2pr 2 sinqdqdr, используе­мый при вычислении импульса поля.

Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную g sinq, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпен­дикулярна v (фиг. 23.2). Объем его равен 2pr 2sinqdqdr . Пол­ный импульс будет при этом

Поскольку Е не зависит от угла q (для v< то по углу можно немедленно проинтегрировать:

Интегрирование по q ведется в пределах от 0 до p, так что этот интеграл дает просто множитель 4/ 3, т. е.