Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук

Подставляя выражение для I (w) в наше уравнение для U/V, получаем

Если сделать замену переменных x=hw/kT, то это выраже­ние примет вид

Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подын­тегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она прибли­зительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен p 4/15. Сравнивая это выражение с записан­ным ранее U/V=(4s/с)T 4, мы найдем s:

Много ли энергии утечет за 1 сек из дырки единичной пло­щади, проделанной в стенке ящика? Чтобы найти поток энер­гии, умножим плотность энергии U/V на с. Еще нужно умножить на 1/ 4; эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, l / 2 появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавшу­юся наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дыр­ке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; это умень­шение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно 1/ 2. Теперь понятно, почему мы писали U/V=(4s/c)T 4 : так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто sT 4.

* Поскольку (e x -1) -1 =е - x +е -2 x +..., то интеграл равен

Но , поэтому, дифференцируя три раза по n, мы получаем

, так что интеграл равен 6 (1+ 1 / 16 + 1 / 81 +...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна p 5 /90.