Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Це стало основою того, як Гюйґенс визначив швидкість світла, спираючись на спостереження Ремера щодо зміни видимого орбітального періоду супутника Юпітера Іо. Але з відомою швидкістю світла таке саме обчислення може дати нам відносну швидкість v якогось іншого далекого об’єкта. Зокрема, світлові хвилі певної лінії спектра далекої галактики коливатимуться з певним характерним періодом T , пов’язаним з її частотою ν (ню) та довжиною хвилі λ (лямбда) співвідношенням T = 1/ ν = λ/ c . Цей характерний період відомий зі спостереження спектрів у лабораторіях на Землі. На початку XX століття було виявлено, що спектральні лінії, спостережувані в дуже далеких галактиках, мають більшу довжину хвилі, а отже, довші періоди коливань, з чого ми можемо зробити висновок, що ці галактики віддаляються від нас.

32. Доцентрове прискорення

Прискорення – це величина зміни швидкості, але швидкість будь-якого тіла характеризується не лише абсолютною величиною, а й напрямком. Швидкість тіла, що рухається по колу, постійно змінює свій напрямок, завертаючи до центра кола, тому навіть за постійної абсолютної величини швидкості воно зазнає безперервного прискорення до центра, яке називають доцентровим прискоренням.

Рис. 24.Обчислення доцентрового прискорення. Угорі: вектори швидкості тіла, що рухається по колу, у два різні моменти часу, розділені коротким часовим проміжком Δt. Унизу: ці два вектори швидкості, зведені разом у трикутник, коротка сторона якого дорівнює зміні швидкості в цей часовий проміжок.

Обчислімо доцентрове прискорення якогось тіла, що рухається по колу радіусом r із постійною абсолютною величиною швидкості v . Упродовж короткого часового проміжку від t 1 до t 2 це тіло переміститься вздовж кола на невеличку відстань v Δ t , де Δ t (дельта t ) дорівнює t 2 − t 1, а радіальний вектор (стрілка від центра кола до тіла) повернеться на невеликий кут Δθ (дельта тета). Вектор швидкості (стрілка з позначкою v , що вказує напрямок руху тіла) завжди спрямований по дотичній до кола, а отже, перпендикулярний до радіального вектора. Тому коли напрямок радіального вектора змінюється на кут Δθ, то напрямок вектора швидкості змінюватиметься на такий самий невеликий кут. Тож ми отримуємо два трикутники: один, сторонами якого є радіальні вектори в моменти часу t 1 і t 2, а також хорда, що з’єднує точки, у яких перебувало тіло в ці моменти часу; сторонами іншого трикутника є вектори швидкості в моменти часу t 1 і t 2, а також зміна швидкості Δ v між цими двома моментами часу (див. рис. 24). Для невеличких кутів Δθ різниця в довжині між хордою та дугою, що з’єднує положення тіл у моменти часу t 1 і t 2, незначна, тому ми можемо взяти довжину хорди як v Δ t .

Ми бачимо, що ці трикутники подібні (тобто вони відрізняються розміром, але не формою), бо вони обидва рівнобедрені (кожен має дві рівні сторони) з однаковим невеликим кутом Δθ між цими двома рівними сторонами. Тому співвідношення коротких та довгих сторін кожного трикутника має бути однакове. Тобто

а отже,

Це і є формула Гюйґенса для доцентрового прискорення.

33. Порівняння Місяця з тілом, що падає

За часів античності вчені припускали, що між явищами в небесах та на Землі є якась відмінність. Ньютон рішуче кинув виклик цьому припущенню, порівнюючи доцентрове прискорення Місяця на його орбіті з прискоренням донизу тіла, що падає, поблизу поверхні Землі.

З вимірювань добового паралакса за ньютонівських часів було точно відомо, що середня відстань Місяця від Землі в 60 разів більша за радіус Землі (фактичне співвідношення становить 60,27). Щоб обчислити радіус Землі, Ньютон взяв 1´ (мінуту дуги) на екваторі за милю довжиною в 5 000 футів (1 524 м), тож для повного кола 360°, де в одному градусі 60´, радіус Землі дорівнює:

м.

Насправді середній радіус Землі становить 6 371 000 м. Ця різниця стала найбільшим джерелом помилки в обчисленнях Ньютона. Було точно відомо, що орбітальний період Місяця (сидеричний місяць) становить 27,3 доби, або 2 360 000 секунд. Тоді швидкість Місяця на його орбіті становить: