Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

м/с.

Це дає таке доцентрове прискорення:

м/с2.

Згідно із законом обернених квадратів, це число має дорівнювати прискоренню тіл, що падають, на поверхні Землі, 9,8 м/с2, поділеному на квадрат відношення радіуса орбіти Місяця до радіуса Землі:

Саме на це порівняння «спостережуваного» доцентрового прискорення Місяця в розмірі 0,0022 м/с2 зі значенням, отриманим із закону обернених квадратів 0,0027 м/с2, посилався Ньютон, коли казав, що ці значення «доволі близькі». Пізніше він отримав кращий результат.

34. Закон збереження імпульсу

Припустімо, два рухомі об’єкти з масами m 1 та m 2 зіштовхуються один з одним. Якщо в якийсь короткий часовий проміжок δ t (дельта t ) об’єкт 1 діє із силою F на об’єкт 2, то в цей часовий проміжок об’єкт 2 зазнаватиме прискорення a 2, яке, згідно з другим законом Ньютона, відповідає співвідношенню m 2 a 2 = F . Його швидкість v 2 змінюватиметься при цьому на таку величину:

δ v 2 = a 2 δ t = F δ t / m 2.

Згідно із третім законом Ньютона, об’єкт 2 діятиме на об’єкт 1 із силою −F , рівною за величиною, але (що позначено знаком мінус) протилежною за напрямком, тому в той самий часовий проміжок швидкість v 1 об’єкта 1 зміниться в напрямку, протилежному δ v 2, на величину:

δ v 1 = a 1 δ t = − F δ t / m 1.

Сумарна зміна загального імпульсу m 1 v 1 + m 2 v 2 дорівнює тоді:

m 1δ v 1 + m 2δ v 2= 0.

Звичайно, два об’єкти можуть контактувати впродовж тривалішого періоду, протягом якого сила може не бути постійною, але оскільки загальний імпульс зберігається в кожен короткий проміжок часу, він зберігатиметься впродовж усього періоду контакту.

35. Маси планет

За часів Ньютона було відомо, що супутники є в чотирьох тіл у Сонячній системі: свої Місяці мають Юпітер, Сатурн і Земля, а всі планети є супутниками Сонця. Згідно із законом всесвітнього тяжіння Ньютона, тіло масою M діє на супутник масою m на відстані r із силою F = GMm/r 2 (де G – гравітаційна стала). Тому, згідно із другим законом Ньютона, доцентрове прискорення супутника становитиме a = F/m = GM/r 2. Значення сталої G та загальний масштаб Сонячної системи за часів Ньютона були невідомі, але ці невідомі величини не використовують у співвідношеннях мас, обчислюваних зі співвідношень відстаней та співвідношень доцентрових прискорень. Якщо два супутники тіл із масами M 1 та M 2 перебувають на певних відстанях від цих тіл, співвідношення яких r 1/ r 2 відоме, і мають доцентрові прискорення з відомим їхнім співвідношенням a 1/ a 2, то співвідношення мас можна знайти за формулою:

Зокрема, для супутника, що рухається з постійною швидкістю v по круговій орбіті радіусом r , орбітальний період дорівнює T = 2π r / v , тому доцентрове прискорення v 2/ r цього супутника дорівнює a = 4π2 r / T 2, співвідношення прискорень двох супутників дорівнює a 1/ a 2 = ( r 1/ r 2) / ( T 2/ T 1)2, а співвідношення мас, виведене з орбітальних періодів та співвідношень відстаней, дорівнює:

До 1687 року всі співвідношення відстаней планет від Сонця були вже добре відомі, і зі спостереження кутової відстані Юпітера та Сатурна від їхніх супутників Калісто й Титана (який Ньютон називав «гюйґенсівським супутником») було також можна вирахувати відношення відстані Калісто від Юпітера до відстані Юпітера від Сонця, а також відношення відстані Титана від Сатурна до відстані Сатурна від Сонця. Відстань Місяця від Землі була доволі точно виміряна в одиницях розміру Землі, але не відносно відстані Землі від Сонця, яка тоді не була відома. Ньютон використовував приблизну оцінку співвідношення відстані Місяця від Землі та відстані Землі від Сонця, що виявилося дуже великою помилкою. Крім цієї проблеми, співвідношення швидкостей та доцентрових прискорень можна було обчислити з відомих орбітальних періодів планет та супутників (Ньютон насправді використовував період Венери, а не Юпітера чи Сатурна, але це не вплинуло на результат, бо співвідношення відстаней Венери, Юпітера та Сатурна від Сонця були добре відомі). Як ми вже повідомляли в розділі 14, відношення мас Юпітера та Сатурна до маси Сонця, які отримав Ньютон, були доволі точні, тоді як його результат щодо співвідношення маси Землі й маси Сонця був дуже помилковий.