Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Спостереження 1

Коли Місяць наполовину повний, то кут між лініями прямої видимості від Землі до Місяця та до Сонця дорівнює 87°.

У цей момент кут між лініями прямої видимості від Місяця до Землі та від Місяця до Сонця має дорівнювати точно 90° (див. рис. 5a), тому трикутник, утворений відрізками Місяць – Сонце, Місяць – Земля та Земля – Сонце, прямокутний, де відрізок Земля – Сонце є гіпотенузою. Співвідношення між катетом, прилеглим до кута θ (тета) прямокутного трикутника, та його гіпотенузою є тригонометричною функцією, яку називають косинусом кута θ (cosθ) і яку ми можемо знайти в таблицях або обчислити самі на науковому калькуляторі. Отже, ми маємо:

d м /d с = cos 87° = 0,05234 = 1/19,11,

тобто, з огляду на спостереження, Сонце в 19,11 раза більш далеке від Землі, ніж Місяць. Не знаючи тригонометрії, Арістарх міг лише зробити висновок, що це число лежить між 19 та 20 (насправді цей кут дорівнює не 87°, а 89,853°, тож Сонце у 389,77 раза більш далеке від Землі, ніж Місяць).

Рис. 5.Чотири спостереження, які використовував Арістарх, щоб обчислити розміри Сонця й Місяця та відстані до них від Землі: a) трикутник, утворений Землею, Сонцем та Місяцем, коли Місяць наполовину повний; б) під час повного сонячного затемнення Місяць точно закриває диск Сонця; в) Місяць заходить у тінь Землі під час місячного затемнення. Сфера, що чітко входить у цю тінь, має вдвічі більший діаметр, ніж у Місяця, а P – це кінцева точка тіні, яку кидає Земля; г) лінії прямої видимості до Місяця охоплюють кут у 2°; фактично цей кут близький до 0,5°.

Спостереження 2

Під час сонячного затемнення Місяць точно закриває видимий диск Сонця.

Це показує, що Сонце та Місяць мають фактично однаковий позірний розмір у тому сенсі, що кут між лініями прямої видимості від Землі до протилежних країв сонячного диска такий самий, як і для Місяця (див. рис. 5б.) Це означає, що трикутники, утворені цими двома лініями прямої видимості та діаметрами Сонця та Місяця, «подібні», тобто вони мають однакову форму. Співвідношення відповідних сторін у подібних трикутників однакові, тому

D с /D м = d с /d м.

З огляду на результат спостереження 1, який отримав Арістарх, маємо D с /D м = 19,11, тоді як фактичне співвідношення діаметрів Сонця й Місяця насправді близьке до 390.

Спостереження 3

Тінь Землі в місці положення Місяця під час місячного затемнення достатньо широка, щоб умістити сферу з діаметром, удвічі більшим, ніж у Місяця.

Нехай P – це точка, де конус тіні, яку кидає Земля, закінчується (вершина конуса). Тоді ми маємо три подібні трикутники: трикутник, утворений діаметром Сонця та лініями від країв сонячного диска до P ; трикутник, утворений діаметром Землі та лініями від країв земного диска до P ; і трикутник, утворений подвійним діаметром Місяця та лініями від країв сфери з таким діаметром у місці положення Місяця під час місячного затемнення до P (див. рис. 5 в.) Отже, усі співвідношення відповідних сторін цих трикутників рівні. Припустімо, що точка P розташована на відстані d 0 від Місяця. Тоді Сонце розташоване на відстані d с + d м + d 0 від P , а Земля розташована на відстані d м + d 0 від P , тому

Далі справа за алгеброю. Розв’язавши друге рівняння, можемо знайти d 0:

Підставивши цей вираз замість d 0 в перше рівняння й помноживши обидві його частини на D з D с ( D з − 2D м), отримаємо:

( d с + d м) D з ( D з − 2D м) = d м D с ( D з − 2D м) + 2D м d м ( D с − D з).

Члени d м D с × (− 2D м) та 2D м d м D с у правій частині в сумі дають 0. Доданки у правій частині мають спільний множник D з, який скорочується з множником D з у лівій частині, тож отримаємо таку формулу для D з:

D з

Якщо тепер ми використаємо результат спостереження 2, тобто рівність d с/ d м = D с /D м, можемо виразити D з тільки через діаметри Сонця та Місяця: