Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Щоб відповісти на це запитання, Герон припустив, що світло завжди вибирає найкоротший із можливих шляхів. У випадку відбиття це означає, що точка P має бути розташована так, щоб загальна довжина шляху від B до P , а потім до А була найкоротшим шляхом, що веде від B до якоїсь точки на дзеркалі, а потім до A . З цього він зробив висновок, що кут θпад (тетапад) між дзеркалом та променем, що падає (відрізком між точкою B і дзеркалом), дорівнює куту θвідб між дзеркалом та відбитим променем (відрізком між дзеркалом та точкою A ).

Ось доведення правила про рівність кутів падіння й відбиття світла. Проведімо перпендикулярно поверхні дзеркала лінію від точки B до точки B ´, розташованої за дзеркалом на тій самій відстані, що й B перед ним (див. рис. 3). Припустімо, що ця лінія перетинає дзеркало в точці C . Сторони B ´ C та CP прямокутного трикутника B ´ CP мають однакову довжину зі сторонами ВС та CP прямокутного трикутника BCP , тому гіпотенузи B ´ P та BP цих двох трикутників повинні теж мати однакову довжину. Повна відстань, пройдена променем світла від B до P , а потім до А , таким чином, однакова з відстанню, яку мав би пройти промінь світла, якби він ішов від B ´ до P , а потім до A . Найкоротшою відстанню між точками B ´ та А є пряма, тому шлях, що мінімізує повну відстань між об’єктом та спостерігачем, є тим, для якого P розташована на прямій лінії між B ´ та A . Коли дві прямі лінії перетинаються, кути на протилежних сторонах точки перетину рівні, тому кут θ між лінією B ´ P та дзеркалом дорівнює куту θвідб між відбитим променем та дзеркалом. Але оскільки ці два прямокутні трикутники – B ´ CP та BCP – мають однакові сторони, кут θ має також дорівнювати куту θпад між променем, що падає, BP та дзеркалом. Тому, оскільки θпад та θвідб дорівнюють θ, вони рівні між собою. Це фундаментальне правило рівності кутів падіння й відбивання світла, що визначає положення P на зображенні об’єкта у дзеркалі.

Рис 3. Доведення теореми Герона.Ця теорема стверджує, що найкоротший шлях від об’єкта в точці B до дзеркала, а потім до ока в точці А такий, за якого кути θпад та θвідб рівні. Суцільні лінії, позначені стрілками, показують шлях променя світла; горизонтальна лінія – це площина дзеркала; а пунктир – це лінія, перпендикулярна дзеркалу, що проходить від точки B до точки B´ на іншому боці дзеркала, розташованому на рівній відстані від нього.

9. Плаваючі та занурені тіла

У своїй видатній праці «Про плаваючі тіла» Архімед припускав: якщо тіла плавають або підвішені у воді так, що на рівні площі поверхні на рівних глибинах у воді тисне різна вага, то вода й ці тіла перебуватимуть у русі, поки на всі рівні площі поверхні на будь-якій заданій глибині не почне тиснути однакова вага. З цього припущення він вивів загальні наслідки щодо як плаваючих, так і занурених тіл, деякі з яких навіть мали практичну важливість.

Спочатку розгляньмо якесь тіло на кшталт корабля, вага якого менша за вагу рівного об’єму води. Це тіло плаватиме на поверхні води, витісняючи певну її кількість. Якщо ми намітимо у воді на деякій глибині просто під плаваючим тілом якусь горизонтальну ділянку, площа якої дорівнює площі перерізу судна на рівні його ватерлінії, то вага, що тисне на цю ділянку, буде вагою цього плаваючого тіла плюс вагою води вище від цієї ділянки, за винятком води, витісненої тілом, оскільки ця вода більше не перебуває вище від цієї ділянки. Це можна порівняти з вагою, що тисне на таку саму ділянку на такій самій глибині, але у стороні від положення плаваючого тіла. Це значення, звісно, не враховує вагу плаваючого тіла, але точно включає вагу всієї води від глибини, на якій розташована намічена ділянка, до поверхні без витісненої води. Щоб на обидві ділянки тиснула однакова вага, вага води, витісненої плаваючим тілом, має дорівнювати вазі плаваючого тіла. Ось чому вагу корабля називають його водотоннажністю.

Далі розгляньмо якесь тіло, вага якого більша за вагу рівного об’єму води. Таке тіло не плаватиме, але воно може бути підвішене у воді, наприклад на тросі. Якщо цей трос прикріплений до одного плеча важеля, то таким чином можна виміряти позірну вагу W поз тіла під час занурення у воду. Вага, що тисне на горизонтальну ділянку у воді на деякій глибині безпосередньо під підвішеним тілом, дорівнюватиме справжній вазі W спр підвішеного тіла мінус позірна вага W поз, що компенсується натягом троса, плюс вага води над ділянкою, що, звісно, не включає в себе воду, витіснену тілом. Це значення можна порівняти з вагою, що тисне на таку саму площу поверхні на такій самій глибині й не містить W спр або – W поз, але точно містить вагу всієї води від цієї ділянки до поверхні, за винятком витісненої води. Щоб на обидві ділянки тиснула однакова вага, має бути збережена така рівність: