Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

D з

Якщо ми скористаємось отриманим раніше значенням D с /D м = 19,1, це дає D з/ D м = 2,85. Арістарх наводив діапазон цього значення від 108/43 = 2,51 до 60/19 = 3,16, що навдивовижу має значення 2,85. Фактичним значенням є 3,67. Чому цей результат Арістарха був доволі близький до фактичного значення, попри його дуже погане значення для D с /D м? Причина полягає в тому, що на цей результат майже не впливає точність значення D с, якщо D с значно більше за D м. Фактично, якщо ми взагалі знехтуємо членом D м у знаменнику як мізерним проти D с, тоді D с скоротиться в чисельнику та знаменнику, і ми отримаємо просто D з = 3 D м, що досить близько до справжнього значення.

Значно більшу історичну важливість має такий факт: зі співвідношень D с /D м = 19,1 та D з/ D м = 2,85 можемо вивести, що D с/ D з = 19,1/2,85 = 6,7. Фактичним значенням є D с/ D з = 109,1, але важливо те, що результат Арістарха все одно показує, що Сонце набагато більше за Землю. Арістарх підкреслював цю думку, порівнюючи об’єми, а не діаметри; якщо співвідношення діаметрів Сонця й Землі становить 6,7, то співвідношення об’ємів дорівнює 6,73 = 301. Саме це порівняння, якщо вірити Архімедові, привело Арістарха до висновку, що Земля обертається навколо Сонця, а не Сонце навколо Землі.

Описані вище результати Арістарха дають значення для всіх співвідношень діаметрів Сонця, Місяця та Землі, а також співвідношення відстаней до Сонця та Місяця. Але ніщо поки не дає нам жодного співвідношення якоїсь з цих відстаней із якимось із цих діаметрів. Його забезпечило четверте спостереження.

Спостереження 4

Кутовий розмір Місяця дорівнює 2°(див. рис. 5 г).

Оскільки в повному колі 360°, а коло, радіусом якого є d м, має окружність 2π d м, то діаметр Місяця дорівнює:

D м = (2/360) × 2π d м = 0,035 d м.

За розрахунком Арістарха значення D м /d м лежить між 2/45 = 0,044 і 1/30 = 0,033. З невідомих причин у його працях, що дійшли до нашого часу, він сильно переоцінював справжній кутовий розмір Місяця – насправді той перекриває кут лише 0,519°, а це дає D м /d м = 0,0090. Як ми вже зазначали в розділі 8, Архімед у своєму творі «Про підрахунок піщинок» подав значення 0,5° для кутового розміру Місяця, що є доволі близьким до справжнього значення й мало б доволі точно оцінити співвідношення діаметра Місяця та відстані до нього.

Зважаючи на результати, отримані зі спостережень 2 і 3 для співвідношення D з/ D м діаметрів Землі та Місяця, а також результату, отриманого зі спостереження 4 для співвідношення D м /d м діаметра Місяця та відстані до нього, Арістарх зумів знайти співвідношення відстані до Місяця та діаметра Землі. Наприклад, якщо D з/ D м = 2,85 та D м /d м = 0,035, це дає

(Фактичне значення становить приблизно 30.) Поєднавши цей результат із результатом спостереження 1 для співвідношення d с/ d м = 19,1 відстані до Сонця й Місяця, отримаємо значення d с/ D з = 19,1 × 10,0 == 191 для співвідношення відстані до Сонця й діаметра Землі (фактичне значення становить приблизно 11 600). Вимірювання діаметра Землі було вже наступним завданням.

12. Розмір Землі

Щоб обчислити розмір Землі, Ератосфен використовував спостереження, що опівдні під час літнього сонцестояння напрямок на Сонце в Александрії відхилений на 1/50 повного кола (тобто на 360°/50 = 7,2°) від вертикального напрямку, тоді як, згідно з повідомленнями, у Сієні, місті, розташованому начебто точно на південь від Александрії, опівдні під час літнього сонцестояння Сонце стоїть прямо над головою. Оскільки Сонце розташоване дуже далеко, промені світла, що падають на Землю в Александрії та Сієні, фактично паралельні. Вертикальний напрямок у будь-якому місті є лише продовженням променя від центра Землі до цього міста, тому кут між лініями від центра Землі до Сієни та до Александрії має також дорівнювати 7,2°, або 1/50 повного кола (див. рис. 6). Отже, з огляду на припущення Ератосфена, окружність Землі має бути у 50 разів більша за відстань від Александрії до Сієни.