Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Тоді, використовуючи інші два рівняння, отримуємо:

Отже, для п’яти названих вище випадків кількості граней, вершин та ребер такі:

Це і є платонові тіла.

3. Гармонія

Піфагорійці відкрили, що дві струни музичного інструмента з однаковим натягом, товщиною та складом видаватимуть під час одночасного щипка приємний звук, якщо довжини цих струн відносяться одна до одної як малі цілі числа, наприклад, 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 тощо. Щоб зрозуміти, чому це саме так, нам спершу потрібно зрозуміти, як взаємопов’язані частота, довжина хвилі та швидкість будь-якої хвилі.

Для будь-якої хвилі характерна певна амплітуда коливань. Амплітудою коливань звукової хвилі є зміна тиску в повітрі, що переносить цю хвилю; амплітудою океанської хвилі є товща води; амплітудою світлової хвилі з визначеним напрямком поляризації є електричне поле в такому напрямку; а амплітудою хвилі, що рухається вздовж струни музичного інструмента, є відхилення цієї струни від її нормального положення в напрямку, перпендикулярному до струни.

Найпростіший різновид хвилі має форму синусоїди. Якщо ми зробимо моментальне фото такої хвилі в будь-який момент часу, то побачимо, що амплітуда зникає в певних точках уздовж напрямку руху хвилі. Якщо ми подивимося від однієї такої точки далі вздовж напрямку руху, то побачимо, що амплітуда зростає, а потім поступово падає знову до нуля, а ще далі – падає до від’ємного значення і зростає знову до нуля, після чого повторює весь цикл знову і знову вздовж напрямку хвилі. Відстань між точками на початку та наприкінці будь-якого повного циклу називають довжиною хвилі й позначають символом λ (лямбда). Далі важливо зрозуміти, що, оскільки амплітуда хвилі має нульове значення не лише на початку та наприкінці циклу, а й посередині його, то відстань між сусідніми нульовими точками дорівнює половині довжини хвилі, тобто λ/2. Отже, будь-які дві точки, де амплітуда набуває нульового значення, мають бути розділені якоюсь цілою кількістю відрізків, що дорівнюють половині довжини хвилі.

Є фундаментальна математична теорема (чітко сформульована лише на початку XIX століття) про те, що майже будь-яке збурення (тобто будь-яке збурення, що достатньо плавно змінюється вздовж лінії поширення хвилі) можна виразити як суму синусоїдальних хвиль із різноманітними довжинами хвилі (це відомо як «аналіз Фур’є».).

Кожна окремо взята синусоїдальна хвиля демонструє характерне коливання в часі, а також у просторі вздовж напрямку руху хвилі. Якщо хвиля поширюється зі швидкістю υ , то за час t вона проходить відстань υt . Кількість довжин хвилі, що проходять повз фіксовану точку за час t , становитиме υt/ λ, тому кількість циклів на секунду в заданій точці, у якій і амплітуда, і швидкість її зміни знову повертаються до початкового значення, становить υ/ λ. Це відомо як частота, яку позначають символом ν (ню), тому ν = υ/ λ. Швидкість поширення хвилі від вібрації струни близька до сталої й залежить від натягу та маси струни, але майже не залежить від її довжини або амплітуди, тому для цих хвиль (як і для світла) частота просто обернено пропорційна довжині хвилі.

Тепер розгляньмо струну якогось музичного інструмента з довжиною L . Амплітуда коливань має дорівнювати нулю біля кінців цієї струни, де та кріпиться. Така умова обмежує довжину окремих синусоїдальних складових коливання хвилі вібрації струни. Ми вже зазначали, що відстань між будь-якими точками хвилі, у яких амплітуда коливання набуває нульового значення, має дорівнювати цілій кількості половин довжини хвилі. Отже, хвиля на струні, зафіксованій з обох кінців, має містити цілу кількість N половин довжини хвилі, тобто L = N λ/2. Отже, єдиними можливими довжинами хвилі є λ = 2 L/N , де N = 1, 2, 3 і далі, а тому єдиними можливими частотами [70]є такі:

ν = υN /2 L.

Найнижча частота (для випадку N = 1) дорівнює υ /2 L ; усі вищі частоти (для N = 2, N = 3 і далі) називають обертонами. Наприклад, найнижча частота для струни ноти до першої октави будь-якого інструмента дорівнює 261,63 циклу на секунду, але вона також вібрує за 523,26 циклу на секунду, 784,89 циклу на секунду й далі. Інтенсивності різних обертонів визначають звучання різних музичних інструментів.