Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Ми маємо отримати n ≥ 3, бо інакше не було б простору між сторонами багатокутників, а також ми повинні отримати N ≥ 3, бо інакше не було б місця між гранями, що збігаються разом біля вершини (наприклад, для куба n = 4, бо сторони є квадратами, а N = 3). Отже, згадана вище нерівність не дозволяє ані 1/ n , ані 1/ N бути таким малим як, наприклад, 1/2 − 1/3 = 1/6, а отже, ні n , ні N не може дорівнювати чи бути більшим від 6. Ми можемо легко перевірити всі можливі пари цілих чисел у діапазонах 5 ≥ N ≥ 3 та 5 ≥ n ≥ 3 на відповідність нерівності й побачити, що є лише п’ять таких пар:

a ) N = 3, n = 3

b ) N = 4, n = 3

c ) N = 5, n = 3

d ) N = 3, n = 4

e ) N = 3, n = 5

(У випадках n = 3, n = 4 та n = 5 сторони правильного багатогранника є відповідно рівносторонніми трикутниками, квадратами та правильними п’ятикутниками.) Це ті значення N та n , які ми знаходимо в тетраедрі, октаедрі, ікосаедрі, кубі, а також додекаедрі.

Усе це довів Евклід. Але він не довів, що для кожної пари n та N є лише один правильний багатогранник. Ми підемо далі Евкліда й покажемо, що для кожного значення N та n можна отримати єдино можливі комбінації інших властивостей багатогранника: кількості граней F , кількості ребер E та кількості вершин V . Тут є три невідомі величини, тож нам знадобляться три рівняння, щоб знайти їх. Щоб вивести перше, зверніть увагу, що загальна кількість сторін усіх багатокутників, що утворюють поверхню багатогранника, становить nF , але кожне з E ребер є межею двох багатокутників, тому

2 E = nF .

Крім того, зауважмо, що N граней збігаються разом біля кожної з V вершин, а кожне з E ребер з’єднує дві вершини, тому

2 E = NV .

Нарешті, є й менш явне співвідношення між величинами F, E та V . Щоб його вивести, ми маємо зробити додаткове припущення, що багатогранник однозв’язний у тому сенсі, що будь-який шлях між двома точками на поверхні може безперервно трансформуватися в будь-який інший шлях між цими точками. Так відбувається, наприклад, для куба або тетраедра, але не для багатогранника (правильного чи ні), побудованого розташуванням ребер та граней уздовж поверхні тора. Одна складна в доведенні теорема стверджує, що будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований додаванням ребер, граней та/або вершин до тетраедра, а потім, якщо це необхідно, стисканням, унаслідок якого багатогранник набуває якоїсь бажаної форми. З огляду на цей факт, ми тепер покажемо, що будь-який однозв’язний багатогранник (правильний чи ні) задовольняє рівність:

F − E + V = 2.

Легко перевірити, що цю рівність задовольняє й тетраедр, у випадку якого ми маємо F = 4, E = 6, V = 4, тож ліва частина рівняння матиме такий вигляд: 4 − 6 + 4 = 2. Тепер, якщо додати до будь-якого багатогранника ребро, що перетинає грань від одного ребра до іншого, ми додаємо одну нову грань і дві нові вершини, тому F та V збільшуються на одну одиницю та дві одиниці відповідно. Але це розбиває кожне старе ребро в кінцях нового ребра на дві частини, тому E зростає на 1 + 2 = 3, а отже, число F − E + V залишається незмінним. Так само, якщо ми додаємо ребро, що проходить від вершини до одного з наявних ребер, тоді ми збільшуємо значення F та V на одну одиницю кожне, а значення E на дві одиниці, тому число F − E + V усе ще залишається незмінним. Нарешті, якщо додати ребро, що проходить від однієї вершини до іншої, тоді ми збільшуємо обидва значення F та E на одну одиницю кожне й не змінюємо V , тому число F − E + V знову залишається незмінним. Оскільки будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований так, усі подібні багатогранники мають однакове значення для цього числа, тобто рівність F − E + V = 2 має бути збережена для них так само, як і для тетраедра (це простий приклад галузі математики, відомої як топологія; число F − E + V в топології називають ейлеровою характеристикою багатогранника).

Тепер ми можемо розв’язати ці три рівняння для E, F та V . Найпростіше скористатися першими двома рівняннями, щоб замінити F та V у третьому рівнянні на 2 E/n та 2 E/N відповідно, щоб третє рівняння мало такий вигляд: 2 E/n − E + 2 E/N = 2, що дає нам: