Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Представим, что сталкиваются две частицы а и b и частица а рассеивается в направлении 1, а частица b — в направлении 2 (фиг. 2.1, а).

Фиг. 2.1. При рассеянии двух тождественных частиц процессы а и б неразличимы.

Пусть f (θ) будет амплитуда этого процесса; тогда вероятность Р 1наблюдения подобного события пропорциональна | f (θ)| 2. Конечно, могло случиться, что частица b рассеялась в счетчик 1, а частица а направилась в счетчик 2 (фиг. 2.1, б ). Если считать, что никаких специальных направлений, определяемых спином или чем-то подобным, в опыте нет, то вероятность Р 2этого события можно просто записать в виде | f (π-θ)| 2, потому что этот процесс попросту эквивалентен первому процессу, в котором счетчик 1 поставили под углом (π-θ). И вам могло бы показаться, что амплитуда второго процесса равна просто f (π-θ). Но это не обязательно так, потому что в ней мог стоять произвольный фазовый множитель. Иначе говоря, амплитуда могла бы быть такой:

Ведь и такая амплитуда все еще приводит к вероятности Р 2, равной | f (π-θ)| 2.

Посмотрим теперь, что случается, если частицы a и b оказываются идентичными. Тогда два разных процесса, показанных на двух частях фиг. 2.1, уже нельзя друг от друга отличить. Существует амплитуда того, что а или b попадает в счетчик 1, тогда как оставшаяся частица попадает в счетчик 2. Эта амплитуда есть сумма амплитуд двух процессов, показанных на фиг. 2.1.

Если первую мы обозначим f (θ), то вторая будет e iδ f (π-θ), и теперь уже фазовый множитель очень важен, потому что мы собираемся складывать амплитуды. Предположим, что мы обязаны умножать амплитуду на некий фазовый множитель всякий раз, когда две частицы обмениваются ролями. Если они еще раз обменяются ими, то множитель появится еще раз. Но при этом мы снова возвратимся к первому процессу. Фазовый множитель, взятый дважды, должен вернуть нас к тому, с чего мы начали, — его квадрат должен быть равен единице. Есть только две возможности: e iδравно либо +1, либо -1. Обмен приводит ко вкладу в амплитуду с тем же знаком или ко вкладу с противоположным знаком. И оба случая встречаются в природе, каждый для своего класса частиц. Частицы, интерферирующие с положительным знаком, называются бозе - частицами , а те, которые интерферируют с отрицательным знаком, именуются ферми - частицами . Ферми-частицы — это электрон, мюон, оба нейтрино, нуклоны и барионы. Стало быть, амплитуда рассеяния тождественных частиц имеет вид для бозе - частиц :

(2.1)

для ферми - частиц :

(2.2)

Для частиц со спином (скажем, электронов) возникает добавочное усложнение. Нужно указывать не только местоположение частиц, но и направление их спинов. Только в том случае, когда частицы идентичны и их спиновые состояния тоже идентичны , только тогда при обмене частицами амплитуды интерферируют. А если вас интересует рассеяние неполяризованных пучков, являющихся смесью различных спиновых состояний, то нужны еще выкладки и сверх этого.

Интересная проблема возникает при наличии двух или больше тесно связанных частиц. К примеру, в α-частице сидят четыре частицы: два нейтрона и два протона. И когда рассеиваются две α-частицы, может представиться несколько возможностей. Может случиться, что при рассеянии обнаружится конечная амплитуда того, что один из нейтронов перескочит от одной α-частицы к другой, а нейтрон из другой α-частицы перейдет к первой, так что две α-частицы после рассеяния оказываются не первоначальными частицами — произошел обмен парой нейтронов (фиг. 2.2).

Фиг. 2.2. Рассеяние двух α-частиц. а — обе частицы сохраняют свою индивидуальность; б — во время рассеяния происходит обмен нейтроном.

Амплитуда рассеяния с обменом парой нейтронов будет интерферировать с амплитудой рассеяния без такого обмена, и интерференция должна иметь знак минус, потому что состоялся обмен ферми-частицами. С другой стороны, если относительная энергия двух α-частиц так мала, что они находятся сравнительно далеко друг от друга (скажем, из-за кулоновского отталкивания) и вероятность обмена любыми внутренними частицами оказывается незначительной, в этом случае α-частицу можно считать простейшим объектом, не задумываясь о деталях ее внутреннего строения. В этих условиях в амплитуду рассеяния войдут только два члена. Либо обмена вовсе нет, либо при рассеянии происходит обмен всеми четырьмя нуклонами. Поскольку и протоны, и нейтроны в α-частице — это ферми-частицы, обмен любой парой меняет знак амплитуды рассеяния. Пока внутри α-частиц нет никаких изменений, обмен двумя α-частицами означает то же самое, что обмен четырьмя парами ферми-частиц. Каждая пара меняет знак, и в итоге амплитуды складываются со знаком плюс. Так что α-частица ведет себя как бозе-частица.