Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(50.3)

Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сделать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на cos7ω t . При этом получается

(50.4)

А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена a 0cos7ωt по периоду Т пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам. Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действительно, давайте рассмотрим член с а 1. Мы знаем, что в общем случае

(50.5)

так что член с а 1равен

(50.6)

Таким образом получаются два косинуса: один с восемью полными периодами, а другой с шестью. Оба они равны нулю . Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю.

Для члена с а 2мы получаем cos9ωt и cos5ωt, каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с а 9получится cos16ωt и cos(-2ω t ). Но cos(-2ωt) — это то же самое, что cos2ωt, так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, за исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным слагаемым будет член с а 7. Для него же мы получим

(50.7)

Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно 1/ 2а 7.

Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их накосинус типа cos n ω t , то таким же методом можно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль.

Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умножаем на cos7ωt и усредняем, то все члены, кроме а 7, отсеиваются и в результате остается

(50.8)

или

(50.9)

Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты b 7, например, находятся с помощью умножения (50.2) на sin 7ω t и усреднения обеих частей. Результат таков:

(50.10)

Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого другого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего доказательства в следующей, более элегантной математической форме. Если m и n — целые отличные от нуля числа и если ω=2π/T, то

(50.11)

(50.12)

(50.13)

(50.14)

(50.15)

(50.16)

В предыдущих главах для описания простого гармонического движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо cosωt мы использовали Re ехр(iωt) —действительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожалуй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:

(50.17)